【五分钟力扣】198题—用python3解决打家劫舍问题

一、前言

每天五分钟，看懂一道简单、中等难度的算法题
疯狂学习python中，每天持续更新
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二、题目

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例一:

输入: [1,2,3,1]
输出: 4
解释: 偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
     偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

实例二：

输入: [2,7,9,3,1]
输出: 12
解释: 偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
     偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

来源：力扣（LeetCode）
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三、解答思路

判断条件：

1. 当房间数为 H = 1 时：偷盗 K 房间即可获得最大收益 ,公式为： S₁ = H₁

2. 当房间数为 H = 2 时： S₂ =max( S₁ ,H₂)

3. 当房间数为 H= 3时：S₃ = max(s1+H₃ , s2)

4. 当房间数为 H =4 时：S₄=max(S₂+H₄,S₃)

递推公式：
$S~n~ = max(S~n-1~,S~n-2~+Hn)$
边界条件：
$S~1~ = H~1~$

$S~2~ = max(S~1~,H~2~)$

注：当房间数为0时，条件不成立。

四、相关知识点

4.1 动态规划算法思想

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。

例子：

一个原始问题，可以分为多个子问题，多个子问题结果可能是重复的，为了方便调用，便于计算，它会保存已有结果，再遇到相同的子问题直接调用保存的结果。

相同子问题怎么产生的？

解：我们先求F(5)的解，如下，以二叉树的结构表示

通过二叉树，我们注意到，F(n)是通过计算它的两个重叠子问题 F(n-1)和F(n-2)的形式来表达的，所以，可以设计一张表填入n+1个F(n)的值。通过下面的表会发现：后一个数等于前面两个数的和。（这就是著名的斐波那契数）

五、代码实例

"""
你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。
给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。

示例 1:

输入: [1,2,3,1]
输出: 4
解释: 偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
     偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。

示例 2:
输入: [2,7,9,3,1]
输出: 12
解释: 偷窃 1 号房屋 (金额 = 2), 偷窃 3 号房屋 (金额 = 9)，接着偷窃 5 号房屋 (金额 = 1)。
     偷窃到的最高金额 = 2 + 9 + 1 = 12 。

"""
from typing import List

nums = [2, 11, 18, 15, 1]

class Solution:
    def rob(self, nums: List[int]) -> int:
        if not nums:  # 如果房间数为空，则收益为0
            return 0
        if len(nums) == 1:  # 只有一间房，这就是最大收益
            return nums[0]

        dp = [0, 0]  # n必须大于2，套用公式计算的话，会超出索引范围，假设增加两个空房间，来进行对比
        dp.extend(nums)  # 列表相加，得到[0, 0 ,2, 11, 18, 15, 1]

        for i in range(2, len(dp)):
            # dp[i] 也可以看出前几个房间的收益，最后一个房间收益是前面累计的和。
            dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2]+dp[i])   
        return dp[-1]  # 取列表最后一个值

if __name__ == '__main__':
    obj = Solution()
    print(obj.rob(nums))

总结分析：

"""
dp[i] 也可以看做是账本，记录着前几个房间盗窃的收益

通过循环看到账本每次变动情况，直观了解项目运行过程


[0, 0, 2, 11, 18, 15, 1]
[0, 0, 2, 11, 18, 15, 1]
[0, 0, 2, 11, 20, 15, 1]
[0, 0, 2, 11, 20, 26, 1]
[0, 0, 2, 11, 20, 26, 26]

也就是最后一次账本记录的收益，是前几次盗窃的总值

"""