第3講 變換矩陣與齊次座標

從上一講的內容中可以知道一次完整的歐式變換（旋轉+平移）可以用式子：來表示。

假設我們現在對做了兩次歐式變換：和，得到的向量分別爲、，用上式來表示就是：

，，

於是從到的變換就可以寫成。

這不是一個線性關係，可以想象到，如果經過多次的歐式變換，那麼這個式子就會變的異常的複雜。

引入變換矩陣和齊次座標就是爲了解決這個問題。

變換矩陣和齊次座標

我們可以將上面從到變換的式子改寫成用矩陣表示的形式：

在上面的式子中，我們在一個三維向量的末尾添加了數字1，使得左邊變成了四維向量，稱爲齊次座標。

將上面的矩陣打開就是下面的式子：

對於這個四維向量，我們可以把旋轉和平移寫在一個矩陣裏面，通過引入矩陣使得整個關係變成線性關係。矩陣T稱爲變換矩陣。

關於齊次座標，還有下面這些需要知道。

      通過添加最後一維，我們用四個實數來描述了一個三維向量，這顯然多了一個自由度，但是這樣允許我們把變換寫成線性的形式。在齊次座標中，某個點的每個分量同時乘以一個非零常數後，仍然表示同一個點。因此一個點的具體座標值不是唯一的。如和表示的是同一個點。

      但是，當最後一項不爲0時，我們總是可以把所有座標分量除以最後一項，強制最後一項爲1，從而得到一個點唯一的座標表示。（也就是將非齊次座標轉換爲齊次座標）。如：

通過齊次座標和變換矩陣，兩次變換（多次變換也是如此）的累加就可以有很好的形式：

，      

實踐部分：Eigen庫使用

      Eigen是一個c++開源線性代數庫。它提供了快速的有關矩陣的線性代數運算，包括解方程等功能。關於Eigen的更多資料可以在這裏找到。

1、Eigen庫的安裝

如果在ubuntu上還沒有安裝Eigen庫的話，可以先使用apt-get命令安裝Eigen：

sudo apt-get install libeigen3-dev

我已經安裝過了，執行之後提示如下：

Eigen頭文件的默認位置在 /usr/include/eigen3/ 中。

與其他庫相比，Eigen的特殊之處在於：它是一個純用頭文件搭建起來的庫。這意味着你只能找到它的頭文件，而沒有.so或者.a那樣的二進制文件。在使用的時候，也只需要引入Eigen的頭文件即可，不需要鏈接庫文件（因爲根本就沒有庫文件）。

2、調用Eigen庫進行矩陣運算

首先，簡單的介紹介紹一下Matrix class：Eigen庫以矩陣爲基本數據單元，它是一個模板類，定義如下：     

Matrix<typename Scalar, int RowsAtCompileTime, int ColsAtCompileTime>

三個參數的含義分別爲：數據類型、行數、列數。

例如，下面語句定義了一個4*4的float類型的矩陣：

Eigen::Matrix<float, 4, 4> matrix4f;

使用Eigen庫的時候，由於Eigen庫沒有庫文件，因此不需要使用target_link_directories語句，只需要使用一個鏈接頭文件目錄的語句include_directories，如下：

include_directories("/usr/include/eigen3")

源文件內容：

#include <iostream>
#include "Eigen/Dense"

using namespace std;

int main() {
    //定義一個2*3的int矩陣和一個3*2的int矩陣
    Eigen::Matrix<int, 2, 3> matrix3i_a;
    Eigen::Matrix<int, 3, 2> matrix3i_b;

    //輸入矩陣matrix3i_a數據
    cout<<"matrix3i_a的內容爲："<<endl;
    matrix3i_a<<1, 2, 3, 4, 5, 6;
    cout<<matrix3i_a<<endl;

    //輸入矩陣matrix3i_b數據
    for(int i=0; i<3; i++){
        for(int j=0; j<2; j++){
            matrix3i_b(i, j)=2*i;
        }
    }
    cout<<"matrix3i_b的內容爲："<<endl;
    cout<<matrix3i_b<<endl;

    //matrix3i_a和matrix3i_b進行四則運算
    cout<<"matrix3i_a*matrix3i_b的結果爲："<<endl;
    cout<<matrix3i_a*matrix3i_b<<endl;

    cout<<"matrix3i_a的轉置爲："<<endl;
    cout<<matrix3i_a.transpose()<<endl;
    cout<<"matrix3i_a的各個元素的和爲："<<endl;
    cout<<matrix3i_a.sum()<<endl;

    return 0;
}

CMakeLists.txt的內容：

cmake_minimum_required(VERSION 3.12)
project(use_eigen)

set(CMAKE_CXX_STANDARD 14)

#添加頭文件
include_directories("/usr/include/eigen3")

add_executable(use_eigen main.cpp)

上面的程序中需要注意的就是：輸入矩陣數據的時候，使用的是輸出運算符而不是輸入運算符。（這裏的運算符都是重載之後的運算符）。

這一篇暫時就先學到這裏了，明天開始學習旋轉向量、歐拉角、四元數。