第4講李羣和李代數2

第一部分：SO(3)和so(3)

1、SO(3)對應的李代數 $\large so(3)$

SO(3)對應的李代數是定義在 $\large \mathbb{R}^{3}$ 上向量，我們記作 $\large \phi$ 。根據上一篇博客中的推導，可以知道，每個 $\large \phi$ 都可以生成一個反對稱矩陣：

$\large \Phi =\phi ^{\Lambda }=\begin{bmatrix} 0 & -\phi_{3} & \phi_{2} \\ \phi_{3} & 0 & -\phi_{1} \\ -\phi_{2} & \phi_{1} & 0 \end{bmatrix} \epsilon \mathbb{R}^{3*3}$

在此定義下，兩個向量 $\large \phi_{1},\phi_{2}$ 的李括號（運算）爲：

$\large [\phi_{1},\phi_{2}]=[\Phi_{1}\Phi_{2}-\Phi_{2}\Phi_{1}]^{\vee }$

由於 $\large \phi$ 和反對稱矩陣關係很緊密，在不引起歧義的情況下，可以說 $\large so(3)$ 的元素是三維向量或者三維反對稱矩陣，即：

$\large so(3)= \begin{Bmatrix} \phi\epsilon \mathbb{R}^{3},\Phi =\phi^{\Lambda }\epsilon \mathbb{R}^{3*3} \end{Bmatrix}$

到此，我們已經清楚了SO(3)對應的李代數 $\large so(3)$ 的內容，它們是一個由三維向量組成的集合，其中每個向量都可以對應到三維反對稱矩陣，可以表達旋轉矩陣的導數。它和SO(3)的關係由指數映射給定： $\large R=exp(\phi^{\Lambda })$

2、SO(3)上的指數映射

由上面的內容可以知道，SO(3)中的每個元素都有對應的李代數，它們之間的關係由指數映射給定： $\large R=exp(\phi^{\Lambda })$ 。那麼它具體應該怎麼去計算呢？

（1）再進入真正的計算公式的推導之前，首先來看一下如何利用Sophus庫來進行李羣和李代數的運算，因爲這比較簡單。

Eigen提供了幾何模塊，但是沒有提供對李代數的支持。Sophus是一個較好的李代數庫，它是Strasdat維護的，基於Eigen開發的，能夠較好的支持SO(3)、SE(3)，此外還能夠支持SO(2)、SE(2)。

關於Sophus庫的配置在百度上可以找到很多教程，這裏不記錄了。下面是一個調用Sophus庫進行李代數運算的例子。

#include <iostream>
//Eigen
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>
//Sophus
#include "sophus/so3.h"

using namespace std;

int main(int argc, char **argv)
{
    //定義一個沿Z軸轉90度的旋轉
    Eigen::Matrix3d R = Eigen::AngleAxisd(M_PI/2, Eigen::Vector3d(0,0,1)).toRotationMatrix();

    //可以直接從旋轉矩陣構造SO（3）
    Sophus::SO3 SO3_R(R);

    //也可以直接從旋轉向量構造SO（3）
    Sophus::SO3 SO3_V(0, 0, M_PI/2);

    //也可以從四元數構造SO（3）
    Eigen::Quaterniond q(R);
    Sophus::SO3 SO3_Q(q);

    //輸出SO（3）的時候，是以so(3)的形式顯示的
    cout << "SO(3) from rotation_matrix : " << SO3_R << endl;
    cout << "SO(3) from rotation_vector : " << SO3_V << endl;
    cout << "SO(3) from quaternion : " << SO3_Q << endl;

    //SO（3）---> so(3)   對數映射
    Eigen::Vector3d so3 = SO3_R.log();
    cout << "SO3_R.log() = " << so3 << endl;

    //hat ---> 從三維向量到三維反對稱矩陣的運算
    cout << "so3 hat = " << Sophus::SO3::hat(so3) << endl;

    //vee ---> 從三維反對稱矩陣到三維向量
    cout << "so3 hat vee = "<< Sophus::SO3::vee(Sophus::SO3::hat(so3)).transpose() << endl;

    return 0;
}

下面是CMakeLists.txt的內容：

cmake_minimum_required(VERSION 3.5)

project(use_sophus)

find_package(Sophus REQUIRED)

include_directories(
    ${Sophus_INCLUDE_DIRS}
)

add_executable(useSophus 
    useSophus.cpp
)

target_link_libraries(useSophus 
    ${Sophus_LIBRARIES}
)

（2）數學上的計算推導

通過上面的推導得到了計算 $\large R=exp(\phi^{\Lambda })$ 的公式：

$\exp(\phi ^{\Lambda }) = \exp(\theta a^{\Lambda }) =\cos\theta I+(1-\cos\theta )aa^{T}+\sin\theta a^{\Lambda }$

說明：實際上，這個公式和第3講中講到的“羅德里格斯公式 --- 描述旋轉矩陣和旋轉向量的轉換過程”形式相同，這表明，so(3)實際上就是由所謂的旋轉向量組成的空間，而指數映射公式即羅德里格斯公式。

3、從SO(3) ---> so(3) ：對數映射

$\phi =(\ln R)^{\vee }=[\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{n+1}(R-I)^{n+1}]^{\vee }$

第二部分：SE(3)和se(3)

1、SE(3)對應的李代數 $\large se(3)$

與上面相似的是SE(3)，也有對應的李代數 $\large se(3)$ 。與上面最大的不同是 $\large {\color{Red} se(3)}$ 位於 $\large {\color{Red} \mathbb{R}^6}$ 空間中， $\large {\color{Red} so(3)}$ 位於 $\large {\color{Red} \mathbb{R}^3}$ 空間中。

下面直接給出 $\large se(3)$ 的內容，如下：

對上式的說明：

（1） $\large \vec{\xi }$ 是一個6維向量

（2） $\large \vec{\xi }$ 向量的前3維 $\large \rho$ 表示平移（注意和變換矩陣中平移不同，後面會解釋）

（3） $\large \vec{\xi }$ 向量的後3維 $\large \phi$ 表示旋轉，實際上是 $\large so(3)$ 中的元素。

（4）在這裏 $\large \Lambda$ 符號的含義不同了，在 $\large so(3)$ 中是將3維向量映射成爲3*3反對稱矩陣，在這裏是將一個6維向量映射稱爲一個4*4的矩陣，並且不再表示反對稱了。

在 $\large se(3)$ 中，也有類似的李括號運算：

$\large [\xi _{1},\xi _{2}]=(\xi _1^{\Lambda} \xi _2^{\Lambda }- \xi _2^{\Lambda }\xi _1^{\Lambda})^{\vee }$

2、SE(3)上的指數映射

（1）同樣的，首先來看一下如何調用Sophus庫來進行SE(3)和se(3)的相互運算。

#include <iostream>
//Eigen
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/Geometry>
//sophus
#include "sophus/se3.h"

using namespace std;

int main(int argc, char **argv)
{
    //可以從旋轉矩陣，平移向量構造SE3
    Eigen::Matrix3d rotation_matrix = Eigen::AngleAxisd(M_PI/2, Eigen::Vector3d(0, 0, 1)).toRotationMatrix();   
    Eigen::Vector3d t(1, 0, 0); 
    Sophus::SE3 SE3_RT(rotation_matrix, t);
    //也可以從四元數，平移向量構造SE3
    Eigen::Quaterniond q(rotation_matrix);
    Sophus::SE3 SE3_QT(q, t);

    cout << "SE3_RT = " << SE3_RT << endl;
    cout << "SE3_QT" << SE3_QT << endl;

    //SE3 --- se(3) : 對數映射
    typedef Eigen::Matrix<double, 6, 1> Vector6d;
    Vector6d se3 = Sophus::SE3::log(SE3_RT);
    cout << "se3 = " << se3.transpose() << endl;

    //同樣的，在SE3中也有 hat 和 vee 這兩個運符
    cout << "se3 hat = " << "\n" << Sophus::SE3::hat(se3) << endl;
    cout << "SE3 vee = " << "\n" << Sophus::SE3::vee(Sophus::SE3::hat(se3)) << endl;

    return 0;
}

（2）數學公式推導

這裏直接給出se(3)上的指數映射公式：

$exp(\xi ^{\Lambda })=\begin{bmatrix} \sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!} (\phi ^{\Lambda })^{n}&\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{(n+1)!} (\phi ^{\Lambda })^{n} \textbf{p} \\ 0^{T} & 1 \end{bmatrix} \doteq \begin{bmatrix} R & \textbf{J}\textbf{P} \\ 0^{T} & 1 \end{bmatrix} =T$

下面說一下關於 $\textbf{J}$ 的整理：

我們可以這樣理解：平移部分經過指數映射之後，還發生了一次以 $\textbf{J}$ 爲係數矩陣的線性變換。

（3）對數映射

這裏沒有給出直接的公式，但是給出了對數映射的計算思路。

關於對數和指數映射就先到這裏了。下一篇會開始李代數求導和擾動模型的學習。

第4講李羣和李代數2

第一部分：SO(3)和so(3)

第二部分：SE(3)和se(3)

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第一部分：SO(3)和so(3)

第二部分：SE(3)和se(3)

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