變分法與最速降線問題

本文主要參考變分法及其應用.

在諸多優化問題中，優化的變量是一個函數，也就是說需要找到一個函數，使得某個特定的目標最小。

固體力學中的最小勢能原理

處於平衡狀態的彈性體，真實位移場使得系統總勢能取最小值。

基於勢能原理，也發展出了固體力學中的變分解法，也就是求出使得總勢能最小的位移場，該位移就是真實的位移解答。

同樣變分法也可以用於最優控制中，求取控制律，使得系統系統的性能指標最優，而控制律通常是時間的函數。

1. 泛函

泛函其實是挺難理解的概念，首先看微積分中函數的概念。

定義在實數域$R$上的一元函數$y=f(x)$,值域也是實數集$R$，實際上是定義了一種映射關係$f$，$f:~R \to R$。

而泛函的定義域並不是數集，而是函數集。

假設函數集合$C$，$\forall y \in C$,$y$的定義域爲$[x_0,x_1]$，$y$都爲可微函數，且

$y(x_0)=y_0,~y(x_1)=y_1\tag{1}$

也就是說函數幾何$C$中的元素均爲平面上從點$A(x_0,~y_0)$到點$~B(x_1,~y_1)$的光滑曲線。

這裏討論泛函$J(y)$的定義域就是函數集合$C$，其值域是實數集$R$。泛函$J(y)$同樣定義了一種映射關係$J:~C \to R$。一般泛函可以用積分式表示：

$J[y(x)]=\int_{a}^{b}F(x,~y,~y')\text{d}x\tag{2}$

2. 泛函變分

函數$y=f(x)$的微分$dy$指的是由於自變量$x \to x+dx$所引起的因變量$y$的變化量$dy=f(x+dx)-f(x)$。

而泛函$J[y(x)]$的變分$\delta J$指的是由於自變量$y \to y+\delta y$所引起的因變量$J$的變化$\delta J=J[y+\delta y]-J[y]$。

當$y \to y+\delta y$時，利用多元函數的一階Taylor展開

$F(x,~y+\delta y,~y'+\delta y')=F(x,~y,~y')+\frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\delta y'\tag{3}$

因此，泛函$\delta J$可以表爲

$\delta J=\int_{a}^{b} \left[ \frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\delta y' \right]\text{d}x\tag{4}$

3. 泛函極值

函數$y=f(x)$取在$x=x_0$處取極值的必要條件是

$\frac{dy}{dx}\Big|_{x=x_0}=0$

泛函$J[y(x)]$取極值的必要條件是

$\delta J = 0\tag{5}$

$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)=0\tag{6}$

下面證明上述必要條件，證明過程很長，並且有點不嚴謹。

理論上$\delta y$是任意小的函數，可以取$\delta y=\varepsilon \varphi(x)$，$\varepsilon$是任意小的實數，$\varphi(x)$爲可微函數，並滿足

$\varphi(a)=0,~\varphi(b)=0\tag{7}$

這樣函數$J[y(x)+\varepsilon\varphi(x)]$是$\varepsilon$的函數，在$\varepsilon=0$處取得極值。因此有

$\frac{\text{d}}{\text{d}\varepsilon}\left(J[y(x)+\varepsilon\varphi(x)]\right)\Big|_{\varepsilon=0}=0\tag{8}$

參考式(3)有

$J[y(x)+\varepsilon\varphi(x)]=J[y(x)]+\int_{a}^{b}\left[\frac{\partial F}{\partial y}\varepsilon\varphi(x)+\frac{\partial F}{\partial y'}\varepsilon\varphi'(x)\right]\text{d}x\tag{9}$

將式(9)帶入式(8)中，

$\frac{\text{d}}{\text{d}\varepsilon}\left(J[y(x)+\varepsilon\varphi(x)]\right)\Big|_{\varepsilon=0}=\int_{a}^{b}\left[\frac{\partial F}{\partial y}\varphi(x)+\frac{\partial F}{\partial y'}\varphi'(x)\right]\text{d}x=0\tag{10}$

再以$\varepsilon$乘以上式有

$\int_{a}^{b}\left[\frac{\partial F}{\partial y}\varepsilon\varphi(x)+\frac{\partial F}{\partial y'}\varepsilon\varphi'(x)\right]\text{d}x=0=\int_{a}^{b} \left[ \frac{\partial F}{\partial y}\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\delta y' \right]\text{d}x=\delta J=0\tag{11}$

這就證明了泛函取極值的必要條件是其變分爲零，下面再證另一個條件。

對式(10)應用分部積分

$0=\int_{a}^{b}\left[\frac{\partial F}{\partial y}\varphi(x)+\frac{\partial F}{\partial y'}\varphi'(x)\right]\text{d}x \\ =\int_{a}^{b}\frac{\partial F}{\partial y}\varphi(x)\text{d}x+\int_{a}^{b}\frac{\partial F}{\partial y'}\text{d}\varphi(x) \\ =\int_{a}^{b}\frac{\partial F}{\partial y}\varphi(x)\text{d}x+\frac{\partial F}{\partial y'}\varphi(x)\Big|_{x=a}^{x=b}-\int_{a}^{b}\varphi(x)\text{d}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right) \tag{12}$

考慮到式(7)，上式可以進一步簡化爲

$\int_{a}^{b}\frac{\partial F}{\partial y}\varphi(x)\text{d}x-\int_{a}^{b}\varphi(x)\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)\text{d}x=0 \\ \int_{a}^{b}\varphi(x)\left[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)\right]\text{d}x=0 \tag{13}$

考慮到$\varphi(x)$的任意性

$\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)=0 \tag{14}$
即證明泛函極值的第二個必要條件，上式又被稱爲歐拉-拉格朗日條件（E-L條件）。

4. 最速降線

如下圖所示，最速降線問題指的是平面上兩點$A(0,~0),B(p,~q)$，一個質點$m$沿着那條曲線無摩擦的下降時，時間最短。y軸正方向向下。

無摩擦，重力勢能全部轉化爲動能

$\frac{1}{2}mv^2=mgy \\ v = \sqrt{2gy} \tag{15}$

弧長微元$\text{d}s$與時間微元$\text{d}t$存在關係

$v = \frac{\text{d}s}{\text{d}t} \tag{16}$

弧長微元$\text{d}s$可以表爲

$\text ds=\sqrt{1+y'~^2}\text dx \tag{17}$

綜合式(14)(15)(16)時間微元可以表爲

$dt=\frac{\text{d}s}{v} =\sqrt{\frac{1+y'~^2}{2gy}}\text dx \tag{18}$

從點A到點B的下降時間$t$可以積分得到

$t=\int_{0}^{p}dt=\int_{0}^{p}\sqrt{\frac{1+y'~^2}{2gy}}\text dx \tag{19}$

下降時間$t$是曲線$y=y(x)$的泛函，最速降線就是$t(y)$的極值。因此最速降線必然滿足泛函極值的必要條件。

此處$F(y,y')=\sqrt{\frac{1+y'~^2}{2gy}}$，須滿足E-L條件即式(13)。

又

$\frac{\text{d}}{\text dx}\left(F(y,y')-y'\frac{\partial F}{\partial y'}\right) \\ =\frac{\partial F}{\partial y}y'+\frac{\partial F}{\partial y'}y''-y''\frac{\partial F}{\partial y'}-y'\frac{\text{d}}{\text dx}\frac{\partial F}{\partial y'} \\ =y'\left[\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)\right]=0 \tag{20}$

因此，

$F(y,y')-y'\frac{\partial F}{\partial y'}=C \tag{21}$

將$F(y,y')$代入上式

$\sqrt{\frac{1+y'~^2}{2gy}}-y'\frac{y'}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y'~^2}}=C \\ \frac{1}{\sqrt{2gy}\sqrt{1+y'~^2}}=C \\ y(1+y'~^2)=\frac{1}{2gC^2} \tag{22}$

令$2gC^2=2r$,

$y(1+y'~^2)=2r \tag{23}$

爲了解出$y=y(x)$，再引入參數代換。令

$y'=\cot\frac{\theta}{2} \tag{24}$

因爲

$\frac{1}{1+\cot^2\theta}=\frac{1}{1+\frac{cos^2\theta}{sin^2\theta}}=\frac{sin^2\theta}{sin^2\theta+\cos^2\theta}=sin^2\theta \tag{25}$

所以

$y=2rsin^2\frac{\theta}{2}=r(1-cos\theta) \tag{26}$

爲了解出$x=x(\theta)$，將上式對$\theta$求導數

$y'\frac{\text dx}{\text d\theta}=r\sin\theta \tag{27}$

即

$cot\frac{\theta}{2}\frac{\text dx}{\text d\theta}=r\sin\theta \\ \frac{\text dx}{\text d\theta} = r\frac{\sin\theta}{cot\frac{\theta}{2}}=r\frac{\sin\theta{sin\frac{\theta}{2}}}{cos\frac{\theta}{2}}=r\frac{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}{sin\frac{\theta}{2}}}{cos\frac{\theta}{2}}\\ =2r\sin^2\frac{\theta}{2}=r(1-cos\theta) \tag{28}$

積分之有

$x=r(\theta-\sin\theta)+C_0 \tag{29}$

將邊界條件代入式(29)中，可以確定出常數$C_{0}=0,~r$，綜上

$\begin{cases} x = r(\theta-\sin\theta) \\ y = r(1-cos\theta) \end{cases} \tag{30}$

最速降線不是一段圓弧，而是一段圓周運動產生的擺線。據傳牛頓用動力學的方法巧妙地得出了最速降線。