三輪全向底盤：運動學性能分析

速度分析

建立三輪底盤的速度物理學模型如圖所示。

其中$v_1$、$v_2$、$v_3$分別爲三個輪子的轉速，$ω$爲旋轉角速度，$v_x$、$v_y$爲車身座標系中的速度即相對速度（由於底盤速度性能與在世界座標系中的姿態無關，因此此處爲簡化運算，取車身座標系與世界座標系$X$,$Y$方向重合），$a$爲旋轉中心到輪軸心的垂直距離，$θ$爲輪軸與$x$軸夾角，$θ=π/6$。不難得出各輪速度的轉換矩陣爲：

記$\mathbf{v}^{T} = \begin{bmatrix} v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ \end{bmatrix}$$\mathbf{V}^{T} = \begin{bmatrix} v_{x} & v_{y} & \omega \\ \end{bmatrix}$轉換矩陣爲$\mathbf{R}$則有

$\mathbf{v}^{T} = \mathbf{{R\ }}\mathbf{V}^{T}$

${\mathbf{R}^{- 1}\mathbf{v}}^{T} = \mathbf{\ }\mathbf{V}^{T}$

即

所以

$V_{\max} = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{\frac{4}{9}\left( v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} - v_{1}v_{2} - v_{1}v_{3} - v_{2}v_{3} \right)}$

其中$\{ v_{1},v_{2},v_{3}\} \in \left\lbrack - v_{m,}v_{m,} \right\rbrack$

又由不旋轉的條件可知

$\omega = \frac{1}{3a}\left( v_{1} + v_{2} + v_{3} \right) = 0$

即

$v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0$

由以上兩式，構造非線性規劃模型，用MATLAB求解得：

直線行走的最大速度

$V_{\max} = \frac{{2v}_{m}}{\sqrt{3}}$

各方向速度圖像：

分析可知，三輪底盤當沿着一個輪軸方向前進時，速度可取到平動的最大值$\frac{{2v}_{m}}{\sqrt{3}}$

加速度分析

假設啓動階段驅動電機處於恆轉矩模式，即各輪驅動力恆定，建立三輪底盤的驅動力物理學模型如圖所示。

其中$f_1$、$f_2$、$f_3$分別爲三個輪子的驅動力，$α$爲角加速度，$a_x$、$a_y$爲車身座標系中的加速度即相對加速度（由於底盤速度性能與在世界座標系中的姿態無關，因此此處爲簡化運算，取車身座標系與世界座標系$X$,$Y$方向重合），$a$爲旋轉中心到輪軸心的垂直距離，$θ$爲輪軸與$x$軸夾角，$θ=π/6$。不難得出驅動力與加速度之間的轉換矩陣爲：

利用與上述相同的方法，可以得到加速度在各個方向上的極值，如下圖：

因此，對三輪底盤來說，最大速度和最大加速度均發生在與一個輪軸重合的方向上。

非線性歸劃求極值MATLAB源碼