三轮全向底盘：运动学性能分析

速度分析

建立三轮底盘的速度物理学模型如图所示。

其中$v_1$、$v_2$、$v_3$分别为三个轮子的转速，$ω$为旋转角速度，$v_x$、$v_y$为车身座标系中的速度即相对速度（由于底盘速度性能与在世界座标系中的姿态无关，因此此处为简化运算，取车身座标系与世界座标系$X$,$Y$方向重合），$a$为旋转中心到轮轴心的垂直距离，$θ$为轮轴与$x$轴夹角，$θ=π/6$。不难得出各轮速度的转换矩阵为：

记$\mathbf{v}^{T} = \begin{bmatrix} v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ \end{bmatrix}$$\mathbf{V}^{T} = \begin{bmatrix} v_{x} & v_{y} & \omega \\ \end{bmatrix}$转换矩阵为$\mathbf{R}$则有

$\mathbf{v}^{T} = \mathbf{{R\ }}\mathbf{V}^{T}$

${\mathbf{R}^{- 1}\mathbf{v}}^{T} = \mathbf{\ }\mathbf{V}^{T}$

即

所以

$V_{\max} = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} = \sqrt{\frac{4}{9}\left( v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} - v_{1}v_{2} - v_{1}v_{3} - v_{2}v_{3} \right)}$

其中$\{ v_{1},v_{2},v_{3}\} \in \left\lbrack - v_{m,}v_{m,} \right\rbrack$

又由不旋转的条件可知

$\omega = \frac{1}{3a}\left( v_{1} + v_{2} + v_{3} \right) = 0$

即

$v_{1} + v_{2} + v_{3} = 0$

由以上两式，构造非线性规划模型，用MATLAB求解得：

直线行走的最大速度

$V_{\max} = \frac{{2v}_{m}}{\sqrt{3}}$

各方向速度图像：

分析可知，三轮底盘当沿着一个轮轴方向前进时，速度可取到平动的最大值$\frac{{2v}_{m}}{\sqrt{3}}$

加速度分析

假设启动阶段驱动电机处于恒转矩模式，即各轮驱动力恒定，建立三轮底盘的驱动力物理学模型如图所示。

其中$f_1$、$f_2$、$f_3$分别为三个轮子的驱动力，$α$为角加速度，$a_x$、$a_y$为车身座标系中的加速度即相对加速度（由于底盘速度性能与在世界座标系中的姿态无关，因此此处为简化运算，取车身座标系与世界座标系$X$,$Y$方向重合），$a$为旋转中心到轮轴心的垂直距离，$θ$为轮轴与$x$轴夹角，$θ=π/6$。不难得出驱动力与加速度之间的转换矩阵为：

利用与上述相同的方法，可以得到加速度在各个方向上的极值，如下图：

因此，对三轮底盘来说，最大速度和最大加速度均发生在与一个轮轴重合的方向上。

非线性归划求极值MATLAB源码