【矩陣論】廣義逆矩陣與線性方程組求解思維導圖

前言：爲什麼需要廣義逆矩陣？

我們在書中所學的逆矩陣$A^{-1}$必須是非奇異矩陣纔行，但現實生活中有大量矩陣不一定是方陣，而就算是方陣也可能是奇異的$(\det A=0)$。因此，爲了解決更寬泛的矩陣問題，我們需要將逆矩陣的概念推廣到奇異矩陣中，使得奇異矩陣也具有逆矩陣的主要性質，並且在非奇異的時候可以還原到通常的逆矩陣中。

一、廣義逆矩陣的概念與性質

二、廣義逆矩陣的應用—線性方程組的求解

由上圖可知，對於如下線性方程組，若有解，則該方程是相容的，否則是矛盾方程組。
$Ax=b$

• 如果方程相容的條件是什麼？
  $AA^{(1)}b=b \\ AA^{+}b=b$
• 如果方程相容，其解可能有無數個，我們需要求極小範數解
  $\begin{aligned} &\min \; \|x\| \\ &\; s.t \;\; Ax=b \end{aligned}$
• 如果是矛盾方程組，則解不存在，我們需要求最小二乘解
  $\begin{aligned} &\min_{x\in C^n} \; \|Ax-b\| \\ \end{aligned}$
• 一般矛盾方程組的最小二乘解不唯一，因此，我們需要求極小範數最小二乘解
  $\begin{aligned} &\min \; \|x\| \\ &\; s.t \;\; \min \; \|Ax-b\| \end{aligned}$

參考文獻

程雲鵬, 凱院, 仲. 矩陣論[M]. 西北工業大學出版社, 2006.