矩陣論

1、線性空間的定義以及性質

1.1、集合與映射（預備知識）

集合： 籠統的說是指一些事物（或者對象）組成的整體。
數集： 由數（有限個，無限個）組成的集合。
解集合： 一個線性方程組解的全體組成的集合。
點集合： 一個已知半徑和圓心的開圓內的所有點組成的一個集合。
集合的運算： 並（$\cup$），交（$\cap$）
此外，集合的“和”（+）：並不是嚴格意義上集合的運算，因爲它限定了集合中元素須有可加性。
規定空集合是任意集合的子集合（空集合在集合中所起到的作用類似於數0在數的運算中所起到的作用），每個集合都是自身的子集合。
**數域：**一種數集，對四則運算封閉（除數不爲0）.比如有理數域、實數域（R）和複數域（C）。實數域和複數域是工程上較常用的兩個數域。

1.2、線性空間的定義

  設V是一個非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一個數域，其元素用k,l,m等表示。如果V滿足一下8條性質（分成兩類）：
Ⅰ 在V中定義一個“加法運算”，即當x,y∈V時，有唯一的和x+y∈V（封閉性），且加法運算滿足下列性質：
（1）結合律：x+(y+z)=(x+y)+z;
（2）交換律：x+y=y+xx;
（3）零元律：存在零元素O（不是數0），使x+O=x;
（4）負元律：對於任一元素x∈V，存在唯一元素y∈V，使得x+y=O，且稱y爲x的負元素，極左(-x)，則有x+(-x)=O；
Ⅱ 在V中定義一個“數乘”運算，即當x∈V，k∈K時，有唯一的kx∈V（封閉性），切數乘運算滿足下列性質：
（5）數因子分配律：k(x+y)=kx+ky;
（6）分配律：(k+l)x=kx+lk;
（7）結合律：k(lx)=(kl)x;
（8）恆等律：1x=x；（數域中一定有1）
則稱V爲數域K上的線性空間。
注：
1）線性空間是基於一定數域的。同一個集合，對於不同數域，就可能構成不同的線性空間，甚至對有的數域都能構成線性空間，而對其他的數域不能構成線性空間。
2)兩種運算，八條性質。數域K中的運算是具體的四則運算，而V中所定義的加法運算和數乘運算則是抽象的、形式的。
3）除了兩種運算和八條性質外，還應注意唯一性、封閉性是否滿足。
當數域K爲實數域時，V就稱爲實線性空間；K爲複數域時，V就稱爲複線性空間。
例1、 設$R^+$={全體實數}，其“加法”及“數乘”運算定義爲：
$x \oplus y = xy,k \circ x = {x^k}$證明：$R^+$是實數R上的線性空間。

證：首先要證明兩種運算的唯一性和封閉性。
①唯一性和封閉性：
唯一性顯然
若x>0,y>0,k∈R，則有$x \oplus y = xy\in R^+,k \circ x = {x^k}\in R^+$封閉性得證。
②八條性質：
1）結合律：$x\oplus(y\oplus z)=x(yz)=(xy)z=(x\oplus y)\oplus z$
2）交換律：$x\oplus y=xy=yx=y\oplus x$
3）零元律：1是零元素，$x\oplus 1=x\cdot 1=x$, $[x\oplus O=x\to xO=x\to O=1]$
4）負元律：$\frac{1}{x}$是x的負元素$x\oplus\frac{1}{x}=x\cdot\frac{1}{x}=1$, $[x\oplus y=O]$
5）數因子分配率：$k\circ(x\oplus y)=(xy)^k=x^ky^k=(k\circ x)\oplus(k\circ y)$
6）分配律：$(k+l)\circ x=x^{k+l}=x^kx^l=(k\circ x)\oplus(l\circ x)$
7）結合律：$k\circ(l\circ x)=(x^l)^k=x^{kl}=(kl)\circ x$
8）恆等律：$1\circ x=x^1=x$
八條性質都成立，所以$R^+$是實數域R上的線性空間。

1.3、定理：線性空間有如下性質：

（1）零元素是唯一的，任一元素的負元素也是唯一的。
（2）如下恆等式成立：0x=O,(-1)x=(-x)。

證明：（1）採用反證法：
①零元素是唯一的。設存在兩個零元素$O_1$和$Q_2$,則由於$O_1$和$Q_2$都是零元素，按零元律和交換率有：
$O_1+O_2=O_1=O_2=O_2+O_1$
所以$O_1=O_2$，即$O_1和O_2$相同，與假設相矛盾，故只有一個零元素。
②任一元素的負元素也是唯一的。假設$\forall x \in V$，存在兩個負元素y和z，則更具負元律有：$x+y=O=x+z$
$y=y+O=y+(x+z)=(y+x)+z=O+z=z$
即y與z相同，故負元素唯一。
（2）
①設w=0x，則x+w=1x+0x=(1+0)x=x,故w=O
②設w=(-1)x，則x+w=1x+(-1)x=0x=O,故w=-x。

1.4、線性相關性

線性空間中相關性概念與線性代數中向量組線性相關性概念類似。
線性組合： $\forall x_1,x_2,x_3,...,x_m\in V,c_1,c_2,c_3,...c_m\in K$，使得$c_1x_1+c_2x_2+...+c_mx_m=\sum\limits_{i=1}^mc_ix_i$稱爲元素組的一個線性組合。
線性表示： V中某個元素x可以表示爲其中某個元素的線性組合，則稱x可由該元素組線性表示。
線性相關性： 如果存在一組不全爲0的數$c_1,c_2,c_3,...c_m\in K$，使得對於元素$x_1,x_2,x_3,...,x_m\in V$有$\sum\limits_{i=1}^mc_ix_i=0$則稱元素組$x_1,x_2,x_3,...,x_m$線性相關，否則稱其線性無關

1.5 線性空間的維數

定義： 線性空間V中最大線性無關元素組所含元素的個數稱爲V的維數，記作$dim V$
例：全體m×n階實矩陣的集合構成一個實線性空間（對於矩陣加法和數對矩陣的乘法運算，），求其維數。

解：一個直接的方法就是找一個最大線性無關組，其元素儘可能的簡單
令$E_{ij}$爲這樣的一個m×x階矩陣，其（i,j）元素爲1，其餘元素爲零。
顯然這樣的矩陣共有m×n個，構成一個具有m×n個元素的線性無關元素組$\{E_{11},E_{12},...,E_{1n},E_{21},E_{22},...,E_{2n};...;E_{m1},E_{m2},...,E_{mn}\}$> 另一方面，還需要說明元素個數最大。對於任意的$A=(a_{ij})$都可以由以上元素組線性表示。$A=\sum\limits_{i,j}a_{ij}E_{ij}\to \sum\limits_{i,j}a_{ij}E_{ij}-A=0$即$\{E_{ij}|i=1,2...,m;j=1,2...,n\}$構成了最大線性無關元素組，所以該空間的維數爲m×n。

2、線性空間的基與座標

2.1、基的定義

  設V是數域K上的線性空間，$x_1,x_2,x_3,...x_r(r≥1)$是屬於V的r個任意元素，如果它滿足：
（1）$x_1,x_2,x_3,...x_r(r≥1)$線性無關；
（2）V中任一向量x均可以由$x_1,x_2,x_3,...x_r$線性表示。
則稱$x_1,x_2,x_3,...x_r(r≥1)$爲V的一個基，並稱$x_1,x_2,x_3,...x_r$爲該基的基元素。
注：1）基正是V中最大線性無關元素組；V的維數正是基中所含元素的個數。2）基是不唯一的，但不同的基所含元素個數相等。
例：考慮全體複數所形成的集合C，如果K=C（複數域），則該集合對複數假髮和複數乘法構成線性空間，其基可取爲1，空間維數爲1；如果取K=R（實數域），則該集合對複數加法以及實數對複數的數乘構成線性空間，其基可以取{1,i}，空間維數爲2.

數域K	兩種運算	基	一般元素	空間類型	維數
複數域C	（1）複數加法；（2）複數對複數的數乘	{1}	$c=c\cdot 1$	複線性空間	1
實數域R	（1）複數加法；（2）實數對複數的數乘	{1,i}	$c=a\cdot 1+b\cdot 1$	實線性空間	2

2.2、座標的定義

  線性空間$V^n$的一個基$x_1.x_2,...x_n$爲$V_n$的一個座標系，$\forall x\in V^n$，它在基下的線性表示爲：$\sum\limits_{i=1}^n\xi_ix_i\quad(\xi_i\in K,x_i\in V^n,i=1,2,...,n)$
討論：（1）一般來說，線性空間以及其元素是抽象的對象，不同空間的元素完全可以具有千差萬別的類別以及性質。但座標表示卻把它們統一了起來，座標表示把這種差別留給了基和基元素，由座標所組成的新向量僅由數域中的數表示出來；（2）更進一步，原本抽象的假“加法”以及“數乘”經過座標表示就演化爲向量加法以及數對向量的數乘；（3）同一元素在不同座標系中的座標是不同的。
(1)$\begin{array}{ccccc} x + y& = & ({\xi _1}{x_1} + {\xi _2}{x_2} + ... + {\xi _n}{x_n}) + ({\eta _1}{x_1} + {\eta _2}{x_2} + ... + {\eta _n}{x_n})\\ & = & ({\xi _1} + {\eta _1}){x_1} + ({\xi _2} + {\eta _2}){x_2} + ... + ({\xi _n} + {\eta _n}){x_n} \end{array}$正對應：

(2)$kx = k({\xi _1}{x_1},{\xi _2}{x_2}...,{\xi _n}{x_n}) = (k{\xi _1}){x_1} + (k{\xi _2}){x_2} + ... + (k{\xi _n}){x_n}$ $\to(k\xi_1,k\xi_2,...,k\xi_n)$
正對應：${x = ({\xi _1},{\xi _2}...,{\xi _n})}\to kx=(k\xi_1,k\xi_2,...,k\xi_n)$

3、基變換與座標變換

基是不唯一的，因此，需要研究基改變時座標變換的規律。