經典-> hdu2639
思路：
求第K優解
對於求次優解、第K優解類的問題，如果相應的最優解問題能寫出狀態轉移方程、用動態規劃解決，那麼求次優解往往可以相同的複雜度解決，第K優解則比求最優解的複雜度上多一個係數K。其基本思想是將每個狀態都表示成有序隊列，將狀態轉移方程中的max/min轉化成有序隊列的合併。這裏仍然以01揹包爲例講解一下。首先看01揹包求最優解的狀態轉移方程：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。如果要求第K優解，那麼狀態f[i][v]就應該是一個大小爲K的數組f[i][v][1..K]。其中f[i][v][k]表示前i個物品、揹包大小爲 v時，第k優解的值。“f[i][v]是一個大小爲K的數組”這一句，熟悉C語言的同學可能比較好理解，或者也可以簡單地理解爲在原來的方程中加了一維。 顯然f[i][v][1..K]這K個數是由大到小排列的，所以我們把它認爲是一個有序隊列。然後原方程就可以解釋爲：f[i][v]這個有序隊列是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]這兩個有序隊列合併得到的。有序隊列f[i-1][v]即f[i-1][v][1..K]，f[i-1][v-c[i]]+w[i]則理解爲在f[i-1][v-c[i]] [1..K]的每個數上加上w[i]後得到的有序隊列。合併這兩個有序隊列並將結果的前K項儲存到f[i][v][1..K]中的複雜度是O(K)。最後的答案是f[N][V][K]。總的複雜度是O(VNK)。
爲什麼這個方法正確呢？實際上，一個正確的狀態轉移方程的求解過程遍歷了所有可用的策略，也就覆蓋了問題的所有方案。只不過由於是求最優解，所以其 它在任何一個策略上達不到最優的方案都被忽略了。如果把每個狀態表示成一個大小爲K的數組，並在這個數組中有序的保存該狀態可取到的前K個最優值。那麼， 對於任兩個狀態的max運算等價於兩個由大到小的有序隊列的合併。另外還要注意題目對於“第K優解”的定義，將策略不同但權值相同的兩個方案是看作同一個解還是不同的解。如果是前者，則維護有序隊列時要保證隊列裏的數沒有重複的。
用個形象的比喻吧：如果我想知道學年最高分，那麼，我只要知道每個班級的最高分，然後統計一遍就可以了。如果我想知道學年前十呢？我必須要知道每個班的前十名。大家在心裏模擬一下，對，這就是本題核心的算法。兩種決策，就可以看作這個學年只有兩個班。
根據以上思路，將原來的dp[i]擴展成dp[i][j]表示揹包容量用了i的第j優解。
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<queue>
#include<stack>
using namespace std;
typedef long long ll;
int val[110],cost[110],dp[1010][35];
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int n,v,k;
scanf("%d%d%d",&n,&v,&k);
for(int i=1; i<=n; i++)
scanf("%d",&val[i]);
for(int i=1; i<=n; i++)
scanf("%d",&cost[i]);
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=v; j>=cost[i]; j--)
{
int A[35],B[35];
for(int kk=1; kk<=k; kk++)
{
A[kk]=dp[j-cost[i]][kk]+val[i];
B[kk]=dp[j][kk];
}
int a=1,b=1,c=1;
A[k+1]=-1,B[k+1]=-1;
while(c<=k&&(A[a]!=-1||B[b]!=-1))
{
if(A[a]>B[b])
dp[j][c]=A[a++];
else
dp[j][c]=B[b++];
if(dp[j][c]!=dp[j][c-1])
c++;
}
}
printf("%d\n",dp[v][k]);
}
return 0;
}