數字信號入門筆記1 — 離散時間信號
目錄
本節主要記錄數字信號相關概念，常見信號，信號的描述方法（時域描述/頻域描述），以及模型信號和數字信號轉換及其中產生的問題。
知識點提要：
- 單位衝擊信號的時域描述，作爲最基本的離散時域信號，可以表示其他離散時域信號。
- 模擬角頻率單位爲Hz，代表每秒轉多少週期 模擬角頻率Ω代表每秒轉到少弧度(rad/s). 數字頻率w 每個採樣點間弧度rad
- 復正弦信號由歐拉公式得到，建立了三角函數和復向量間關係，常用於代碼實現信號相關算法
- DTFT（區別於DFT ) 離散信號的DTFT是連續的（數字頻率w爲連續的）
- 時域採樣->頻譜混疊->週期延拓 頻域解釋-w週期爲2Pi 時域解釋-由採樣點可以恢復出不同頻率的正弦信號
- 採樣與奈奎斯特採樣定理解釋
- 數字信號恢復到模擬信號
1.1信號的概念與分類
信號是攜帶信息的物理量或物理現象。信號通常是隨時間變化的有限實函數，滿足“實值性”和“有限性”。
實值性
自然界大部分信號是連續變化的模擬信號，其取值都是實數，目前自然界還沒有發現覆信號，不是整數或複數。但是信號處理中大量用到了複數，是因爲複數可以簡化運算。
有限性
信號的值必須有限。
常見信號分類方法
1.確定信號與隨機信號。
2.連續時間信號與離散時間信號。
3.模擬信號與數字信號。
1.2信號時域描述
離散時間信號指離散時間有定義的信號，若從模擬信號均勻採樣得到，則可以表示爲：
可以理解爲每隔Ts時間採樣一次Xa下面介紹幾個典型信號的時域描述，特別要注意單位衝擊信號，可以用單位衝擊信號表徵其他信號或系統。單位衝擊信號，也稱單位抽樣信號，定義如下：
是最基本的離散時間信號。這裏需要注意，在連續信號中，衝擊信號是時間無限短，幅度無限大的，但是在離散信號中，單位衝擊信號賦值爲1。單位階躍信號是單位衝擊信號的求和，可以表示爲如下公式：
或
正弦信號也是一個包含知識點比較多的信號。
其中A爲幅度，fi爲初相，w爲角速度，也稱爲數字頻率，單位是弧度，表徵信號變化快慢。上式可以看作是由下式的模擬信號採樣而來
其中f成爲模擬頻率，Ω=2*Pi*f稱爲模擬角頻率，單位rad/s，我理解爲把信號週期T映射到2Pi上，Ts爲採樣週期。可以理解爲吧2Pif每隔Ts取一個點。
復正弦信號建立了三角函數和復指數函數的關係，這裏是由歐拉公式得到，可以用它來表徵線性時不變系統，同時也是傅立葉變換的基函數。另外在代碼實現時，可以用三角函數和虛數的這種方式來表示一個向量。
1.3信號頻域描述
離散信號傅立葉變換稱爲離散時間傅立葉變換(DTFT)
如果離散信號x(n)絕對可和，則其DTFT存在且連續。這裏可以看到，每個DTFT值都是隨數字頻率w變化的，W是連續變化，所以雖然是離散信號x(n) ，但是它的DTFT確是連續的。另外，w是以2Pi爲週期的，所以DTFT的結果也是週期性的。x(n)可以看作是由連續模擬信號xa(t) 採樣得到，DTFT結果則可以看作是xa(t) 頻譜的週期延拓。這裏是從頻域角度(數字頻率w是週期性的角度)來說明爲什麼時域採樣信號經過DTFT到了頻域，頻域會出現週期延拓。
1.3.1採樣與混疊
下面從是時域角度說明爲什麼時域採樣後頻域會週期延拓（或者說爲什麼時域採樣後會對應多個頻域值，而且這些頻域值還是週期性的）。從下圖看，不同頻率的正弦信號，時域採樣後可能結果是一樣的。下圖中如果一次採樣6個點，只能恢復出曲線2正弦對應頻率，必須增加採點數，也就是提高採樣頻率，才能恢復出真實的曲線1的正弦信號。這種由採樣導致的不確定性，稱爲混疊。
C中高頻信號實際位7個週期，頻率爲7，如果採樣頻率爲6HZ，那麼採到的信號恰好爲1個週期，也就是通過採樣後恢復的信號是一個1Hz的正弦信號，這樣顯然是錯的。
採樣頻率一般需要一些先驗知識，比如人耳可以聽到最高頻率爲20kHz左右，所以音頻信號一般最高採樣率爲44100Hz，這樣就可以恢復到錄音時所有人耳可以聽到的頻率。那麼需要把採樣頻率提升到多少才能完全恢復出原始信號呢？至此，大家肯定想到了奈奎斯特採樣定理，也就是採樣頻率必須高於信號頻率的2倍。
下面是一個比較傻但是經常犯疑問的問題。如果給一個隨機的週期信號，是否只要採樣頻率爲隨機週期信號頻率的2倍以上，就可以恢復這個隨機週期信號呢？顯然不是，這裏可以恢復的都是單頻的正弦信號。那麼不能恢復隨機的週期信號，採樣定理由什麼用呢？由傅立葉級數知道任何信號都可以分解爲正弦信號，所以一般會把時域信號變換到頻域，當成多個正弦信號的疊加，處理好單個的正弦信號，複雜信號由傅立葉反變換回即可。所以如果想恢復這段隨機的週期信號，採樣頻率必須大於其中最高頻率正弦信號頻率的2倍。
下面回到主線，需要把採樣頻率提升到多少才能完全恢復出原始信號呢？這裏需要先看一下采樣的數學解釋：
採樣的過程相當於模擬信號與一串單位衝擊信號相乘，
a爲模擬信號xa(t)和這個信號對應的頻譜。Ωmax是最大角頻率，對應xa(t)的最大頻率爲fmax = Ω/2Pi。
b爲單位衝擊信號和其對應的頻域，衝激串的頻譜依然是衝擊串，時域間隔Ts，頻域間隔Ωs。Ωs=2Pi/Ts=2*Pi*fs。可以理解爲採樣點得到的頻率可以是真正頻率的週期倍數。對應到w就是每次踩點對應到轉過多少rad，整數週期對應到rad也就是2π。Ω是每秒轉過多少弧度，fs是每秒採樣多少點，w=Ω/fs，把每秒轉過的角度歸到每個採樣點上，是對Ω在採樣頻率上的映射，也就是每採樣一個點轉過的角度，採樣頻率越大，w越小，越不容易混疊。
c相當於模擬信號與採樣信號時域相乘，做傅立葉變換對應的頻譜。
1.3.2信號恢復
下面是模擬角頻率Ω(rad/s)與w數字頻率的對應關係，模擬角頻率/採樣頻率得到的結果就是數字頻率。
這裏採樣頻率fs會決定數字頻率的大小。如果fs太小，也就是採樣率低，那麼最大的數字頻率就會增加。這裏根據wmax=2*Pi*fmax/fs可知，當fs=2*fmax的時候，頻譜延拓的區域剛好相接 如下圖a，如果fs<2*fmax，則wmax會增大，導致頻域發生重疊，如下圖b。
談完了採樣，在看一下恢復，也就是數字信號恢復成模擬信號時遇到的問題。由上文可知，在滿足採樣定理的條件下，模擬信號和數字信號包含的信息是一樣的，另一方面，採樣得到數字信號的頻譜是延拓的，這樣就會導致除了真正的信號，還可能包含相位相差2Pi的高頻信號。所以在輸出時需要一個低通濾波器，在頻域上圈住-Pi～Pi的範圍，這樣就去除了高頻延拓，用這樣的頻域信號恢復到時域就是原先的時域信號。
上圖虛線理想重構器就是一個這樣的低通濾波器。這個方塊濾波器在時域的波形如下
也就是說恢復成模擬信號後，相當於需要在時域卷積一個上圖類型的信號，相當於進行一次低通濾波。這裏需要記一個結論，形如上圖的波形和矩形框這種的波形互爲傅立葉變換對，後面還會多次用到這個結論。實際恢復過程中，由於保持器恢復的時候還會引入高頻，一般處理流程是在保持器後增加一個叫做康鏡像濾波器的低通濾波器。
