【線性 dp】B006_LC_可被三整除的最大和（三種餘數）

一、Problem

Given an array nums of integers, we need to find the maximum possible sum of elements of the array such that it is divisible by three.

Input: nums = [3,6,5,1,8]
Output: 18
Explanation: Pick numbers 3, 6, 1 and 8 their sum is 18 (maximum sum divisible by 3).

Constraints:

1 <= nums.length <= 4 * 10^4
1 <= nums[i] <= 10^4

二、Solution

這題真的想不到 dp，剛開始直接用暴搜做了，但是超時（ps：這題不能用二進制枚舉做，因爲 n 很大，1 << n 是不可能的）

方法一：暴搜

class Solution {
	long max; int n, a[];
	void dfs(int i, long cur) {
		if (i >= n)
			return;
		if (cur % 3 == 0 && cur > max)
			max = cur;
		for (int j = i+1; j < n; j++) {
			dfs(j, cur+a[j]);
		}
		dfs(i+1, cur);
	} 
    public int maxSumDivThree(int[] nums) {
    	a = nums;
    	n = a.length;
    	dfs(0, a[0]);
        return (int) max;
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(2^n)$，
• 空間複雜度：$O(n)$，

方法二：dp

這題突破點是要想到：數字總和可劃分爲兩種大的狀態：

• 可被 3 整除；
• 不能被 3 整除，不能被 3 整除又分爲：
  • 除以 3 餘 1
  • 除以 3 餘 2

所以，dp 的狀態一共有 3 種

• 定義狀態：
  • $f[i][0]$ 表示從前 $i$ 個數選若干個數後，模 3 餘 0 的最大和
  • $f[i][1]$ 表示從前 $i$ 個數選若干個數後，模 3 餘 1 的最大和
  • $f[i][2]$ 表示從前 $i$ 個數選若干個數後，模 3 餘 2 的最大和
• 思考初始化：
  • $f[0...n-1][0...2] =0$
• 思考狀態轉移方程：
  • $f[i][j] = max(f[i][j],\ f[i-1][j])$
  • 如果 $f[i-1][k] + a[i-1]\ \%\ 3$ 的餘數爲 $j$，則有 $f[i][j] = max(f[i-1][j],\ f[i-1][k] + a[i-1]$
• 思考輸出：$f[n][0]$

注：這裏要注意的一點就是餘數爲 0 的狀態既可以從餘數爲 0/1/2 三種情況轉移過來，所以這三種都是要枚舉的。

class Solution {
    public int maxSumDivThree(int[] a) {
    	int n = a.length, f[][] = new int[n+1][3];
    	
    	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 0; j < 3; j++) {
            f[i][j] = f[i-1][j];
            for (int k = 0; k < 3; k++) {	//枚舉f的三種餘數的狀態k，因爲三種餘數狀態都有可能轉移到 j
                if ((f[i-1][k] + a[i-1]) % 3 == j)
                    f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i-1][k] + a[i-1]);
            }
        }
    	return f[n][0];
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n)$，
• 空間複雜度：$O(n)$