【線性 dp】B013_LC_不相交的線（LMS 變形）

一、Problem

我們在兩條獨立的水平線上按給定的順序寫下 A 和 B 中的整數。

現在，我們可以繪製一些連接兩個數字 A[i] 和 B[j] 的直線，只要 A[i] == B[j]，且我們繪製的直線不與任何其他連線（非水平線）相交。

以這種方法繪製線條，並返回我們可以繪製的最大連線數。

輸入：A = [1,4,2], B = [1,2,4]
輸出：2
解釋：
我們可以畫出兩條不交叉的線，如上圖所示。
我們無法畫出第三條不相交的直線，因爲從 A[1]=4 到 B[2]=4 的直線將與從 A[2]=2 到 B[1]=2 的直線相交。

提示：

1 <= A.length <= 500
1 <= B.length <= 500
1 <= A[i], B[i] <= 2000

二、Solution

方法一：dp

因爲這題本質是求 A、B 的最長公共子序列

• 定義狀態：
  • $f[i][j]$ 表示 A 的前 $i$ 個位置和 B 的前 $j$ 個位置的最大連線數
• 思考初始化：
  • $f[0:][0:] = 0$
• 思考狀態轉移方程：
  • 如果 A[i] = B[j]，則有 $f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1$
  • 如果 A[i] != B[j]，則有 $f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-1])$
• 思考輸出：$f[n][m]$

class Solution {
    public int maxUncrossedLines(int[] A, int[] B) {
        int n = A.length, m = B.length, f[][] = new int[n+1][m+1];

        for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            if (A[i] == B[j]) {
                f[i+1][j+1] = f[i][j] + 1;
            } else {
                f[i+1][j+1] = Math.max(f[i][j+1], f[i+1][j]);
            }
        }
        return f[n][m];
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n × m)$，
• 空間複雜度：$O(n × m)$，