【線性 dp】B011_LC_刪除一次得到子數組最大和（分類討論 / 空間壓縮）

一、Problem

給你一個整數數組，返回它的某個 非空 子數組（連續元素）在執行一次可選的刪除操作後，所能得到的最大元素總和。

換句話說，你可以從原數組中選出一個子數組，並可以決定要不要從中刪除一個元素（只能刪一次哦），（刪除後）子數組中至少應當有一個元素，然後該子數組（剩下）的元素總和是所有子數組之中最大的。

注意，刪除一個元素後，子數組 不能爲空。

輸入：arr = [1,-2,0,3]
輸出：4
解釋：我們可以選出 [1, -2, 0, 3]，然後刪掉 -2，這樣得到 [1, 0, 3]，和最大。

輸入：arr = [1,-2,-2,3]
輸出：3
解釋：我們直接選出 [3]，這就是最大和。

二、Solution

方法一：dp

• 定義狀態：
  • $f[i][0]$ 表示以 $a[i]$ 結尾且沒刪過元素的子數組最大總和
  • $f[i][1]$ 表示以 $a[i]$ 結尾且刪除過元素的子數組最大總和
• 思考初始化：
  • $f[0][0] = a[0]$
  • $f[0][1] = 0$
• 思考狀態轉移方程：
  • $f[i][0] = max(f[i-1][0] + a[i], a[0])$ 要麼接着前一段，要麼新開一段。
  • $f[i][1] = max(f[i-1][1] + a[i], f[i-1][0])$ 要麼接着前一段；要麼刪除 $a[i]$ 就此斷開。
• 思考輸出：$max(f[0...n)[0], f[0...n)[1])$

class Solution {
    public int maximumSum(int[] a) {
        int n = a.length, INF = (int) -2e5, max = a[0], f[][] = new int[n][2];
        f[0][0] = a[0];
        f[0][1] = 0;
        
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            f[i][0] = Math.max(a[i], f[i-1][0] + a[i]);
            f[i][1] = Math.max(f[i-1][0], f[i-1][1] + a[i]);
            max = Math.max(max, Math.max(f[i][0], f[i][1]));
        }
        return max;
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O()$，
• 空間複雜度：$O()$，

---

方法二：空間壓縮

可以進行空間壓縮，因爲 f[i][0] 和 f[i][1] 只與前前一個狀態有關

class Solution {
    public int maximumSum(int[] a) {
        int n = a.length, max = a[0];
        int fi_0 = a[0], fi_1 = 0;

        for (int i = 1; i < n; i++) {
            int pre_fi_0 = fi_0;
            fi_0 = Math.max(fi_0 + a[i], a[i]);
            fi_1 = Math.max(fi_1 + a[i], pre_fi_0);
            max = Math.max(max, Math.max(fi_0, fi_1));
        }
        return max;
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n)$，
• 空間複雜度：$O(1)$，