【線性 dp】A002_LC_跳躍遊戲 V（記憶化搜索 / 排序 + dp + 疑惑）

一、Problem

Given an array of integers arr and an integer d. In one step you can jump from index i to index:

i + x where: i + x < arr.length and 0 < x <= d.
i - x where: i - x >= 0 and 0 < x <= d.
In addition, you can only jump from index i to index j if arr[i] > arr[j] and arr[i] > arr[k] for all indices k between i and j (More formally min(i, j) < k < max(i, j)).

You can choose any index of the array and start jumping. Return the maximum number of indices you can visit.

Notice that you can not jump outside of the array at any time.

Input: arr = [6,4,14,6,8,13,9,7,10,6,12], d = 2
Output: 4
Explanation: You can start at index 10. You can jump 10 --> 8 --> 6 --> 7 as shown.
Note that if you start at index 6 you can only jump to index 7. 
You cannot jump to index 5 because 13 > 9. 
You cannot jump to index 4 because index 5 is between index 4 and 6 and 13 > 9.
Similarly You cannot jump from index 3 to index 2 or index 1.

二、Solution

方法一：記憶化搜索

• 題目中說道可以從任意一個位置 $i$ 開始跳躍，說明我們不能只枚舉一個點
• 而且從某一個位置可以向左也可以向右跳區間 $[-d, d]$ 範圍內的距離。
• 只能跳到兩側比自己矮的柱子。

class Solution {
    int d, n, A[], dp[];
    int dfs(int x) {
        if (dp[x] != 0)
            return dp[x];
        int tt = 1;
        for (int y = x-1; y >= 0 && x - y <= d && A[y] < A[x]; y--) {
            tt = Math.max(tt, dfs(y) + 1);
        }
        for (int y = x+1; y < n && y - x <= d && A[y] < A[x]; y++) {
            tt = Math.max(tt, dfs(y) + 1);
        }
        return dp[x] = tt;
    }
    public int maxJumps(int[] A, int d) {
        this.d = d;
        this.A = A;
        n = A.length;
        dp = new int[n];
        int max = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            max = Math.max(max, dfs(i));
        }
        return max;
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(d × n)$，dfs 中至多執行 d 層循環
• 空間複雜度：$O(n)$，

---

方法二：排序 + dp

• 定義狀態：
  • $dp[i]$ 表示 $i$ 位置的格子的最多可到達數。
• 思考初始化：
  • $dp[i] = 1$
• 思考狀態轉移方程：
  • 對於區間 $j∈[0, i)$，$dp[i] = max(dp[j]) + 1$
  • 對於區間 $j∈[i+1, n)$，$dp[i] = max(dp[j]) + 1$
• 思考輸出：$max(dp[0...i])$

不是很懂爲什麼要排序…

複雜度分析

• 時間複雜度：$O()$，
• 空間複雜度：$O()$，