【線性 dp】A010_LC_正則表達式匹配（分類討論）

一、Problem

給你一個字符串 s 和一個字符規律 p，請你來實現一個支持 ‘.’ 和 ‘*’ 的正則表達式匹配。

‘.’ 匹配任意單個字符
‘*’ 匹配零個或多個前面的那一個元素
所謂匹配，是要涵蓋 整個 字符串 s的，而不是部分字符串。

說明:

s 可能爲空，且只包含從 a-z 的小寫字母。
p 可能爲空，且只包含從 a-z 的小寫字母，以及字符 . 和 *。

輸入:
s = "aa"
p = "a"
輸出: false
解釋: "a" 無法匹配 "aa" 整個字符串。

輸入:
s = "aab"
p = "c*a*b"
輸出: true
解釋: 因爲 '*' 表示零個或多個，這裏 'c' 爲 0 個, 'a' 被重複一次。因此可以匹配字符串 "aab"。

二、Solution

方法一：dp

• 定義狀態：
  • $f[i][j]$ 表示 s 的前 $i$ 個字符能否被 p 的前 $j$ 個字符匹配
• 思考初始化：
  • $f[0][0] = true$，表示空串與空串可匹配
  • $f[0][j] = f[0][j-2]\ \&\&\ p[i-1] = *$ 表示字符串 p 的前 $j$ 個字符只有當 $p[j-2]$ 爲空串，且 $s[j-1]$ 爲 $*$ 時纔可以匹配。
• 思考狀態轉移方程：注：$（i \geqslant 1 \&\& j \geqslant 1）$
  • 如果 $s[i] = p[j]\ ||\ p[j] = .$ 則有 $f[i][j] = f[i-1][j-1]$，否則 —>
  • 如果 $p[j] = *$，此時的 * 號有兩種作用：
    • 清空：有 $f[i][j] = f[i][j-2]$，即將字符串 p 的第 $j-1$ 個字符清走，比如 (ab, abc*)，就將字母 c 清走
    • 補全：如果 $f[i-1][j]\ \&\&\ (s[i-1] = p[j-1]\ ||\ p[j-1] = .)$ 即 (abbb，ab*)，或者 (abbb，ab* / a.*)
• 思考輸出：$f[n][m]$

還是有點複雜的，如果沒有正則表達式基礎的同學可能會有點暈，可以放一放…

class Solution {
    public boolean isMatch(String S, String P) {
        char s[] = S.toCharArray(), p[] = P.toCharArray();
        int n = s.length, m = p.length;
        boolean f[][] = new boolean[n+1][m+1];
        f[0][0] = true;
        for (int j = 2; j <= m; j++) 
            f[0][j] = f[0][j-2] && p[j-1] == '*';

        for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (s[i-1] == p[j-1] || p[j-1] == '.') {
                f[i][j] = f[i-1][j-1];
            } else if (p[j-1] == '*') {
                f[i][j] = f[i][j-2] || f[i-1][j] && (s[i-1] == p[j-2] || p[j-2] == '.');
            }
        }
        
        return f[n][m];
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n × m)$，
• 空間複雜度：$O(n × m)$，