Coprime HDU - 5072 2014 Asia AnShan Regional Contest B （數學 容斥）

題目鏈接 https://vjudge.net/problem/HDU-5072

題目大意

給定數組$a_i$求滿足以下兩個條件其中一個的三元組$(a,b,c)$的數量 $ps:(a,b,c)=(b,c,a)$
1.$(a,b)=1,(a,c)=1,(b,c)=1$
2.$(a,b)\not =1,(a,b)\not=1,(b,c)\not=1$

解題思路

一開始沒什麼思路，題目的要求很繁瑣，加上感覺像是容斥，就往容斥的一般思路，求滿足反題目條件的數量，然後用總數量減，對於題目要求的兩種情況，要考慮三個關係式，比較繁瑣。
因爲abc調換不影響計數，可以這樣構建反問題：
$(a,b)=1,(a,c)\not =1$這樣不管bc之間的關係，都是題目的反問題。
但是這樣必定會有兩個二元組存在相同的狀態$( (x,y)\not=1 ||(x,y)=1)$，在計算過程中如果枚舉每一個數那就會算兩次，最後問題的答案就是: $\binom{n}{3}-\frac {res}{2}$

對於$a_i$假如{$a_n$}中有$x$個數和$a_i$互質，那麼和$a_i$gcd不爲$1$的數的數量就是$n-x-1$

接下來就是在{$a_n$}中求和{a_i}互質的數的數量了，這是一個經典的容斥模型：
可以轉化成求：總數減去 和${a_i}$有公共因子的數

先對每個$a_i$打一個$num[i]$的表，表示有$num[i]$個數有因子$i$
然後對每個${a_i}$唯一分解，由於這裏$a_i<1e5$這裏的質因子的數量最多不超過$7$個，然後容斥一下，奇減偶加

注意對$res$產生貢獻的時候不能出現負數

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define ll long long
//#define int ll
#define debug cout<<"fuck"<<endl;
#define pb  push_back
#define endl '\n'
#define fi first
#define se second
#define db double
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
const int mod=(int)1e9+7;
const int maxn=(int)1e5+5;
int n;
int a[maxn];
int cnt[maxn];
void init()
{
    memset(cnt,0,sizeof(cnt));

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j*j<=a[i];j++)
        {
            if(a[i]%j==0)
            {
                cnt[j]++;
                if(j!=a[i]/j)cnt[a[i]/j]++;
            }
        }
    }
}
vector<int>v;
int solve(int x)
{
    v.clear();
    int xx=x;
    for(int i=2;i*i<=xx;i++)
    {
        if(xx%i==0)
        {
            v.pb(i);
            while(xx%i==0)
            {
                xx/=i;
            }
        }
    }
    if(xx>1)v.pb(xx);

    int sz=(int)v.size();
    int ret=n;
    for(int i=1;i<(1<<sz);i++)
    {
        int cc=0;
        int now=1;
        for(int j=0;j<sz;j++)
        {
            if(i&(1<<j))
            {
                now*=v[j];
                cc++;
            }
        }
        if(cc&1)ret-=cnt[now];
        else ret+=cnt[now];
    }
    return ret;
}
int t;
int main()
{
    IOS
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>a[i];
        }
        init();
        ll res=(ll)n*(n-1)*(n-2)/6;
        ll sum=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int num1=solve(a[i]);
            //cout<<num1<<endl;
            int num2=max(0,n-num1-1);
            sum+=(ll)num1*num2;
        }
        cout<<res-sum/2<<endl;
    }





    return 0;
}