灰色預測 GM(1,1) 模型

二、GM(1,1)模型

2.1 GM(1,1)模型概述

灰色預測經常用來解決數據量較少且不能直接發現規律的數據。對於包含不確定信息的序列，灰色預測方法通過對原始數據進行處理，使之轉化爲灰色序列，並建立微分方程模型模型

GM(1,1)模型是灰色預測理論的基本模型，也是灰色系統理論中運用最廣泛的一種動態預測模型，模型由一個單變量的一階微分方程構成。GM(1,1)模型適合對“少數據，貧信息”的對象進行中短期預測

2.2 GM(1,1)數據處理方法

在灰色系統中，能獲得的信息非常有限，且不易發現內部規律，因此我們需要一些處理，減弱序列的隨機性，使得一般規律可以顯現。處理方式主要有以下三種：累加生成、累減生成和加權鄰值生成

2.3 GM(1,1)模型方法的可行性檢驗

由原始序列
$X^{\left( 0 \right)}=\left( x^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right) ,x^0\left( 2 \right) ,...,x^0\left( n \right) \right)$
設 $\sigma \left( k \right)$爲序列$X^{\left( 0 \right)}$ 的級比，若滿足：

$\sigma \left( k \right) \in \left( e^{\frac{-2}{\text{n}+1}},e^{\frac{2}{n+1}} \right)$
其中 n 爲原始序列的數據個數，則$X^{\left( 0 \right)}$ 可建立GM(1,1) 模型，並進行灰色預測。

2.4 GM(1,1)預測模型的構建

設原始序列$X^{\left( 0 \right)}=\left( x^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right) ,x^0\left( 2 \right) ,...,x^0\left( n \right) \right)$滿足上述條件，其中$x^{\left( 0 \right)}\left( k \right) \ge 0$

（1）序列的累加處理
將原始序列進行一次累加生成後處理後，生成 $X^{\left( 0 \right)}$的1-AGO 序列 (累加生成序列)：
$X^{\left( 1 \right)}=\left( x^{\left( 1 \right)}\left( 1 \right) ,x^{\left( 1 \right)}\left( 2 \right) ,...,x^{\left( 1 \right)}\left( n \right) \right)$
其中
$x^{\left( 1 \right)}\left( k \right) =\sum\limits_{i=1}^k{x^{\left( 0 \right)}\left( i \right)}\ \ \ \ k=1,2,......,n$

（2）計算緊鄰均值序列$Z^{\left( 1 \right)}=\left( z^{\left( 1 \right)}\left( 2 \right) ,z^{\left( 1 \right)}\left( 3 \right) ,...,z^{\left( 1 \right)}\left( n \right) \right)$
其中$z^{\left( 1 \right)}\left( k \right) =\frac{1}{2}\left( x^{\left( 1 \right)}\left( k \right) +x^{\left( 1 \right)}\left( k-1 \right) \right)$

（3）建立相關模型
建立一階微分線性方程，即灰色微分方程，得到 GM(1,1)模型的均值形式：$x^{\left( 0 \right)}\left( k \right) +az^{\left( 1 \right)}\left( k \right) =b$

通過 GM(1,1) 模型相應的白化微分方程：
$\frac{\text{dx}^{\left( 1 \right)}}{dt}+ax^{\left( 1 \right)}=b$

其中 a 表示發展係數，反映了$\hat{x}^{\left( 1 \right)}$ 和$\hat{x}^{\left( 0 \right)}$ 的發展態勢； b 表示灰色作用量，或者內生控制灰數，是從行爲序列中挖掘出來的數據，反映的是數據變化的關係，其確切內涵是灰的。

（4）計算 a、b
設 $\hat{a}$ 爲待估參數向量，令 $\hat{a}=\left[ \begin{array}{c} \text{a}\\ b\\ \end{array} \right]$，利用最小二乘法求解，可得：
$\hat{a}=\left( B^TB \right) ^{-1}B^TY$
其中B、Y 分別爲
$\text{B}=\left[ \begin{matrix} -z^{\left( 1 \right)}\left( 2 \right)& 1\\ -z^{\left( 1 \right)}\left( 3 \right)& 1\\ \vdots& \vdots\\ -z^{\left( 1 \right)}\left( n \right)& 1\\ \end{matrix} \right] \text{，Y}=\left[ \begin{array}{c} x^{\left( 0 \right)}\left( 2 \right)\\ x^{\left( 0 \right)}\left( 3 \right)\\ \vdots\\ x^{\left( 0 \right)}\left( \text{n} \right)\\ \end{array} \right]$

（5）建立 GM(1,1) 的時間響應式，即預測模型
$\left\{ \begin{array}{l} \hat{x}^{\left( 1 \right)}\left( k+1 \right) =\left( x^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right) -\frac{b}{a} \right) e^{-ak}+\frac{b}{a},\text{k}=1,2\cdots ,\text{n}\\ \\ \hat{x}^{\left( 0 \right)}\left( k+1 \right) =\hat{x}^{\left( 1 \right)}\left( k+1 \right) -\hat{x}^{\left( 1 \right)}\left( k \right)\\ \end{array} \right.$

2.5 GM(1,1) 模型的檢驗

檢驗灰色預測模型效果主要包括三種方法：殘差檢驗、關聯度檢驗和後驗差檢驗方法，以此來檢驗模型的準確性。

（1） 殘差檢驗

按預測模型計算 $\hat{x}^{\left( 1 \right)}\left( k \right)$，並將 $\hat{x}^{\left( 1 \right)}\left( i \right)$累減生成 $\hat{x}^{\left( 0 \right)}\left( k \right)$，然後計算原始序列 $x^{\left( 0 \right)}\left( k \right)$ 與 $\hat{x}^{\left( 0 \right)}\left( k \right)$的絕對誤差序列即相對誤差序列。

$\left\{ \begin{array}{l} \text{殘差：}\varepsilon \left( k \right) =x^{\left( 0 \right)}\left( k \right) -\hat{x}^{\left( 0 \right)}\left( k \right)\\ \\ \text{相對誤差：}\Delta _k=\frac{\left| \varepsilon \left( k \right) \right|}{x^{\left( 0 \right)}\left( k \right)}\\ \\ \text{平均相對誤差：}\Delta =\frac{1}{n-1}\sum\limits_{k=2}^n{\Delta _k}\\ \end{array} \right.$

若對相應序列殘差有 $\Delta _k<10\%$ ，則代表用 GM(1,1) 模型的模擬精度較高，若 $\Delta _k<20\%$ 則代表用 GM(1,1) 模型的模擬精度一般。

GM(1,1) 模型建模精度：
$p=\left( 1-\varDelta \right) \times 100\%$

（2）關聯度檢驗法

絕對誤差：
$\varDelta ^{\left( 0 \right)}\left( k \right) =\left| x^{\left( 0 \right)}\left( k \right) -\hat{x}^{\left( 0 \right)}\left( k \right) \right|$

得出最大值、最小值

$\left\{ \begin{array}{l} \varDelta _{\max}^{\left( 0 \right)}=\max \varDelta ^{\left( 0 \right)}\left( k \right)\\ \\ \varDelta _{\min}^{\left( 0 \right)}=\min \varDelta ^{\left( 0 \right)}\left( k \right)\\ \end{array} \right.$
計算關聯繫數
$\eta \left( k \right) =\frac{\varDelta ^{\left( 0 \right)}_{\max}+\rho \varDelta ^{\left( 0 \right)}_{\min}}{\varDelta ^{\left( 0 \right)}\left( k \right) +\rho \varDelta ^{\left( 0 \right)}_{\max}}\text{，}\rho =0.5\text{，}k=1,2,\cdots ,n$
得出關聯度
$r=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n{\eta \left( k \right)}$
根據經驗，當 p =0.5 時，關聯度 r >0.6 時可認爲模型的預測效果較好。

（3）後驗差檢驗
原始序列的均值
$\bar{x}^{\left( 0 \right)}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n{x^{\left( 0 \right)}\left( k \right)}$

計算的原始序列的標準差：
$S_1=\sqrt{\frac{\sum{\left[ x^{\left( 0 \right)}\left( k \right) -\bar{x}^{\left( 0 \right)} \right]}^2}{n-1}}$

殘差序列的均值：
$\varDelta ^{\left( 0 \right)}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n{\left[ x^{\left( 0 \right)}\left( k \right) -\hat{x}^{\left( 0 \right)}\left( k \right) \right]}$
計算絕對誤差序列的標準差：
$S_2=\sqrt{\frac{\sum{\left[ \Delta ^{\left( 0 \right)}\left( k \right) -\Delta ^{\left( 0 \right)} \right]}^2}{n-1}}$
計算後驗差比值爲：：
$C=\frac{S_2}{S_1}$
計算小誤差概率：
$P=p\left\{ \left| \Delta ^{\left( 0 \right)}\left( k \right) -\Delta ^{\left( 0 \right)} \right|<0.6745S_1 \right\}$

GM(1,1) 通常用後驗差檢驗方法來評價預測結果的好壞，主要根據其中的後驗差比值（C）和小誤差概率（P）這兩個數值來檢驗模型。根據 C 和 P 的大小可以將灰色模型的預測精度分爲以下幾個等級，如下表

後驗差比值 C	小誤差概率 P	預測精度等級
<0.35	>0.95	好（一級）
<0.50	>0.80	合格（二級）
<0.65	>0.70	勉強合格（三級）
>=0.65	<=0.65	不合格 （四級）

2.6 GM(1,1) 模型的適用範圍

建立於灰色理論基礎上的GM(1,1)模型具有所需樣本量小，無需考慮數據分佈規律，模型預測精度較高，且易於計算檢驗，決定了GM(1,1)模型被廣泛的應用於經濟生活各個領域。但這並非說明GM(1,1)模型應用具有隨意性與其他任何數學模型相同GM(1,1)模型也有其適用範圍，若超出其適用範圍使用GM(1,1)模型往往很難得到滿意的的結果。

GM(1,1)模型的參數與GM(1,1)模型適用性之間的關係得到如下結論

（1）當 -a ≤ 0.3時，GM(1,1)模型可用於中長期預測；

（2）當 0.3 < -a ≤ 0.5時，GM(1,1)模型可用於短期預測，中長期預測需謹慎；

（3）當 0.5 < -a ≤ 0.8時，用GM(1,1)模型作短期預測慎用；

（4）當 0.8 < -a ≤ 1.0時，需採用殘差修正GM(1,1)模型；

（5）當 1 < -a 時，不宜使用GM(1,1)模型。

2.7 GM(1,1) 殘差模型

當原始數據序列$x^{\left( 0 \right)}\left( k \right)$建立的GM(1,1)模型檢驗不合格時，可以用GM(1,1)殘差模型來修正。如果原始序列建立的GM(1,1)模型不夠精確，也可以用GM(1,1)殘差模型來提高精度。

若用原始序列 $x^{\left( 0 \right)}\left( k \right)$ 建立的GM(1,1)模型

$\hat{x}^{\left( 1 \right)}\left( k+1 \right) =\left( x^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right) -\frac{b}{a} \right) e^{-ak}+\frac{b}{a},\text{k}=1,2\cdots ,\text{n}$

可獲得生成序列$x^{\left( 1 \right)}\left( k \right)$的預測值，定義殘差序列$e^{\left( 0 \right)}\left( k \right) =x^{\left( 1 \right)}\left( k \right) -\hat{x}^{\left( 1 \right)}\left( k \right)$。則對應的殘差序列爲：$e^{\left( 0 \right)}\left( k \right) =\left\{ e^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right) ,e^{\left( 0 \right)}\left( 2 \right) ,\cdots ,e^{\left( 0 \right)}\left( n \right) \right\}$

計算其生成序列$e^{\left( 1 \right)}\left( k \right)$，並據此建立相應的GM(1,1)模型：

$\hat{e}^{\left( 1 \right)}\left( k+1 \right) =\left( e^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right) -\frac{b_e}{a_e} \right) e^{-ak}+\frac{b_e}{a_e},\text{k}=1,2\cdots ,\text{n}$
得修正模型
$\hat{x}^{\left( 1 \right)}\left( k+1 \right) =\left( x^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right) -\frac{b}{a} \right) e^{-ak}+\frac{b}{a}+\delta \left( k-i \right) \left( -a_e \right) \left[ e^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right) -\frac{b_e}{a_e} \right] e^{-ak}$
其中
$\delta \left( k-i \right) =\left\{ \begin{array}{l} 1\text{，}k\ge i\\ 0\text{，}k<i\\ \end{array} \right.$

爲修正係數。

應用此模型時要考慮：

（1）一般不是使用全部殘差數據來建立模型，而只是利用了部分殘差。

（2）修正模型所代表的是差分微分方程，其修正作用與$\delta \left( k-i \right)$ 中的 i 的取值有關。