灰色预测 GM(1,1) 模型

二、GM(1,1)模型

2.1 GM(1,1)模型概述

灰色预测经常用来解决数据量较少且不能直接发现规律的数据。对于包含不确定信息的序列，灰色预测方法通过对原始数据进行处理，使之转化为灰色序列，并建立微分方程模型模型

GM(1,1)模型是灰色预测理论的基本模型，也是灰色系统理论中运用最广泛的一种动态预测模型，模型由一个单变量的一阶微分方程构成。GM(1,1)模型适合对“少数据，贫信息”的对象进行中短期预测

2.2 GM(1,1)数据处理方法

在灰色系统中，能获得的信息非常有限，且不易发现内部规律，因此我们需要一些处理，减弱序列的随机性，使得一般规律可以显现。处理方式主要有以下三种：累加生成、累减生成和加权邻值生成

2.3 GM(1,1)模型方法的可行性检验

由原始序列
$X^{\left( 0 \right)}=\left( x^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right) ,x^0\left( 2 \right) ,...,x^0\left( n \right) \right)$
设 $\sigma \left( k \right)$为序列$X^{\left( 0 \right)}$ 的级比，若满足：

$\sigma \left( k \right) \in \left( e^{\frac{-2}{\text{n}+1}},e^{\frac{2}{n+1}} \right)$
其中 n 为原始序列的数据个数，则$X^{\left( 0 \right)}$ 可建立GM(1,1) 模型，并进行灰色预测。

2.4 GM(1,1)预测模型的构建

设原始序列$X^{\left( 0 \right)}=\left( x^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right) ,x^0\left( 2 \right) ,...,x^0\left( n \right) \right)$满足上述条件，其中$x^{\left( 0 \right)}\left( k \right) \ge 0$

（1）序列的累加处理
将原始序列进行一次累加生成后处理后，生成 $X^{\left( 0 \right)}$的1-AGO 序列 (累加生成序列)：
$X^{\left( 1 \right)}=\left( x^{\left( 1 \right)}\left( 1 \right) ,x^{\left( 1 \right)}\left( 2 \right) ,...,x^{\left( 1 \right)}\left( n \right) \right)$
其中
$x^{\left( 1 \right)}\left( k \right) =\sum\limits_{i=1}^k{x^{\left( 0 \right)}\left( i \right)}\ \ \ \ k=1,2,......,n$

（2）计算紧邻均值序列$Z^{\left( 1 \right)}=\left( z^{\left( 1 \right)}\left( 2 \right) ,z^{\left( 1 \right)}\left( 3 \right) ,...,z^{\left( 1 \right)}\left( n \right) \right)$
其中$z^{\left( 1 \right)}\left( k \right) =\frac{1}{2}\left( x^{\left( 1 \right)}\left( k \right) +x^{\left( 1 \right)}\left( k-1 \right) \right)$

（3）建立相关模型
建立一阶微分线性方程，即灰色微分方程，得到 GM(1,1)模型的均值形式：$x^{\left( 0 \right)}\left( k \right) +az^{\left( 1 \right)}\left( k \right) =b$

通过 GM(1,1) 模型相应的白化微分方程：
$\frac{\text{dx}^{\left( 1 \right)}}{dt}+ax^{\left( 1 \right)}=b$

其中 a 表示发展系数，反映了$\hat{x}^{\left( 1 \right)}$ 和$\hat{x}^{\left( 0 \right)}$ 的发展态势； b 表示灰色作用量，或者内生控制灰数，是从行为序列中挖掘出来的数据，反映的是数据变化的关系，其确切内涵是灰的。

（4）计算 a、b
设 $\hat{a}$ 为待估参数向量，令 $\hat{a}=\left[ \begin{array}{c} \text{a}\\ b\\ \end{array} \right]$，利用最小二乘法求解，可得：
$\hat{a}=\left( B^TB \right) ^{-1}B^TY$
其中B、Y 分别为
$\text{B}=\left[ \begin{matrix} -z^{\left( 1 \right)}\left( 2 \right)& 1\\ -z^{\left( 1 \right)}\left( 3 \right)& 1\\ \vdots& \vdots\\ -z^{\left( 1 \right)}\left( n \right)& 1\\ \end{matrix} \right] \text{，Y}=\left[ \begin{array}{c} x^{\left( 0 \right)}\left( 2 \right)\\ x^{\left( 0 \right)}\left( 3 \right)\\ \vdots\\ x^{\left( 0 \right)}\left( \text{n} \right)\\ \end{array} \right]$

（5）建立 GM(1,1) 的时间响应式，即预测模型
$\left\{ \begin{array}{l} \hat{x}^{\left( 1 \right)}\left( k+1 \right) =\left( x^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right) -\frac{b}{a} \right) e^{-ak}+\frac{b}{a},\text{k}=1,2\cdots ,\text{n}\\ \\ \hat{x}^{\left( 0 \right)}\left( k+1 \right) =\hat{x}^{\left( 1 \right)}\left( k+1 \right) -\hat{x}^{\left( 1 \right)}\left( k \right)\\ \end{array} \right.$

2.5 GM(1,1) 模型的检验

检验灰色预测模型效果主要包括三种方法：残差检验、关联度检验和后验差检验方法，以此来检验模型的准确性。

（1） 残差检验

按预测模型计算 $\hat{x}^{\left( 1 \right)}\left( k \right)$，并将 $\hat{x}^{\left( 1 \right)}\left( i \right)$累减生成 $\hat{x}^{\left( 0 \right)}\left( k \right)$，然后计算原始序列 $x^{\left( 0 \right)}\left( k \right)$ 与 $\hat{x}^{\left( 0 \right)}\left( k \right)$的绝对误差序列即相对误差序列。

$\left\{ \begin{array}{l} \text{残差：}\varepsilon \left( k \right) =x^{\left( 0 \right)}\left( k \right) -\hat{x}^{\left( 0 \right)}\left( k \right)\\ \\ \text{相对误差：}\Delta _k=\frac{\left| \varepsilon \left( k \right) \right|}{x^{\left( 0 \right)}\left( k \right)}\\ \\ \text{平均相对误差：}\Delta =\frac{1}{n-1}\sum\limits_{k=2}^n{\Delta _k}\\ \end{array} \right.$

若对相应序列残差有 $\Delta _k<10\%$ ，则代表用 GM(1,1) 模型的模拟精度较高，若 $\Delta _k<20\%$ 则代表用 GM(1,1) 模型的模拟精度一般。

GM(1,1) 模型建模精度：
$p=\left( 1-\varDelta \right) \times 100\%$

（2）关联度检验法

绝对误差：
$\varDelta ^{\left( 0 \right)}\left( k \right) =\left| x^{\left( 0 \right)}\left( k \right) -\hat{x}^{\left( 0 \right)}\left( k \right) \right|$

得出最大值、最小值

$\left\{ \begin{array}{l} \varDelta _{\max}^{\left( 0 \right)}=\max \varDelta ^{\left( 0 \right)}\left( k \right)\\ \\ \varDelta _{\min}^{\left( 0 \right)}=\min \varDelta ^{\left( 0 \right)}\left( k \right)\\ \end{array} \right.$
计算关联系数
$\eta \left( k \right) =\frac{\varDelta ^{\left( 0 \right)}_{\max}+\rho \varDelta ^{\left( 0 \right)}_{\min}}{\varDelta ^{\left( 0 \right)}\left( k \right) +\rho \varDelta ^{\left( 0 \right)}_{\max}}\text{，}\rho =0.5\text{，}k=1,2,\cdots ,n$
得出关联度
$r=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n{\eta \left( k \right)}$
根据经验，当 p =0.5 时，关联度 r >0.6 时可认为模型的预测效果较好。

（3）后验差检验
原始序列的均值
$\bar{x}^{\left( 0 \right)}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n{x^{\left( 0 \right)}\left( k \right)}$

计算的原始序列的标准差：
$S_1=\sqrt{\frac{\sum{\left[ x^{\left( 0 \right)}\left( k \right) -\bar{x}^{\left( 0 \right)} \right]}^2}{n-1}}$

残差序列的均值：
$\varDelta ^{\left( 0 \right)}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n{\left[ x^{\left( 0 \right)}\left( k \right) -\hat{x}^{\left( 0 \right)}\left( k \right) \right]}$
计算绝对误差序列的标准差：
$S_2=\sqrt{\frac{\sum{\left[ \Delta ^{\left( 0 \right)}\left( k \right) -\Delta ^{\left( 0 \right)} \right]}^2}{n-1}}$
计算后验差比值为：：
$C=\frac{S_2}{S_1}$
计算小误差概率：
$P=p\left\{ \left| \Delta ^{\left( 0 \right)}\left( k \right) -\Delta ^{\left( 0 \right)} \right|<0.6745S_1 \right\}$

GM(1,1) 通常用后验差检验方法来评价预测结果的好坏，主要根据其中的后验差比值（C）和小误差概率（P）这两个数值来检验模型。根据 C 和 P 的大小可以将灰色模型的预测精度分为以下几个等级，如下表

后验差比值 C	小误差概率 P	预测精度等级
<0.35	>0.95	好（一级）
<0.50	>0.80	合格（二级）
<0.65	>0.70	勉强合格（三级）
>=0.65	<=0.65	不合格 （四级）

2.6 GM(1,1) 模型的适用范围

建立于灰色理论基础上的GM(1,1)模型具有所需样本量小，无需考虑数据分布规律，模型预测精度较高，且易于计算检验，决定了GM(1,1)模型被广泛的应用于经济生活各个领域。但这并非说明GM(1,1)模型应用具有随意性与其他任何数学模型相同GM(1,1)模型也有其适用范围，若超出其适用范围使用GM(1,1)模型往往很难得到满意的的结果。

GM(1,1)模型的参数与GM(1,1)模型适用性之间的关系得到如下结论

（1）当 -a ≤ 0.3时，GM(1,1)模型可用于中长期预测；

（2）当 0.3 < -a ≤ 0.5时，GM(1,1)模型可用于短期预测，中长期预测需谨慎；

（3）当 0.5 < -a ≤ 0.8时，用GM(1,1)模型作短期预测慎用；

（4）当 0.8 < -a ≤ 1.0时，需采用残差修正GM(1,1)模型；

（5）当 1 < -a 时，不宜使用GM(1,1)模型。

2.7 GM(1,1) 残差模型

当原始数据序列$x^{\left( 0 \right)}\left( k \right)$建立的GM(1,1)模型检验不合格时，可以用GM(1,1)残差模型来修正。如果原始序列建立的GM(1,1)模型不够精确，也可以用GM(1,1)残差模型来提高精度。

若用原始序列 $x^{\left( 0 \right)}\left( k \right)$ 建立的GM(1,1)模型

$\hat{x}^{\left( 1 \right)}\left( k+1 \right) =\left( x^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right) -\frac{b}{a} \right) e^{-ak}+\frac{b}{a},\text{k}=1,2\cdots ,\text{n}$

可获得生成序列$x^{\left( 1 \right)}\left( k \right)$的预测值，定义残差序列$e^{\left( 0 \right)}\left( k \right) =x^{\left( 1 \right)}\left( k \right) -\hat{x}^{\left( 1 \right)}\left( k \right)$。则对应的残差序列为：$e^{\left( 0 \right)}\left( k \right) =\left\{ e^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right) ,e^{\left( 0 \right)}\left( 2 \right) ,\cdots ,e^{\left( 0 \right)}\left( n \right) \right\}$

计算其生成序列$e^{\left( 1 \right)}\left( k \right)$，并据此建立相应的GM(1,1)模型：

$\hat{e}^{\left( 1 \right)}\left( k+1 \right) =\left( e^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right) -\frac{b_e}{a_e} \right) e^{-ak}+\frac{b_e}{a_e},\text{k}=1,2\cdots ,\text{n}$
得修正模型
$\hat{x}^{\left( 1 \right)}\left( k+1 \right) =\left( x^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right) -\frac{b}{a} \right) e^{-ak}+\frac{b}{a}+\delta \left( k-i \right) \left( -a_e \right) \left[ e^{\left( 0 \right)}\left( 1 \right) -\frac{b_e}{a_e} \right] e^{-ak}$
其中
$\delta \left( k-i \right) =\left\{ \begin{array}{l} 1\text{，}k\ge i\\ 0\text{，}k<i\\ \end{array} \right.$

为修正系数。

应用此模型时要考虑：

（1）一般不是使用全部残差数据来建立模型，而只是利用了部分残差。

（2）修正模型所代表的是差分微分方程，其修正作用与$\delta \left( k-i \right)$ 中的 i 的取值有关。