齊次座標系（homogeneous coordinates）

問題：兩個平行的直線能夠相交

在歐式幾何空間中，兩條平行的直線是不能相交的，然而，在投影空間中，是可以相交的。比如下圖的鐵路，在無窮遠的地方交爲一點。

歐式幾個空間（或稱爲笛卡爾空間）能夠很好地描述2/3維幾何模型，但是不能很好地解決投影空間。實際上歐式幾何是投影幾何的一個子集。

例如在笛卡爾座標系中，一個2維點可以表示爲$(x,y)$。如果這個點事無窮遠，該怎麼表示呢？無窮遠的點應該表示爲$(\infty,\infty)$，這樣的表示毫無意義。

投影空間中，兩個平行的直線相交於無窮遠的一點，這在歐式空間中是無法表示的，但是數學家們已經找到了方法來解決這個問題。

解決方法：齊次座標系(homogenous coordinates)

齊次座標系將N維座標用N+1個數字來表示。

例如，將一個2維點用齊次座標系來表示，我們只需要添加一個$w$。這時，笛卡爾座標系中的點$(X,Y)$就變成了齊次座標系中的$(x,y,w)$。它們的對應關係如下：
$\begin{aligned} X &= x/w \\ Y &= y/w \end{aligned}$

舉一個具體的例子，笛卡爾座標系中的二維點$(1,2)$,在齊次座標系中可以表示爲$1,2,1$。如果點$(1,2)$移動到無限遠$(\infty,\infty)$，那麼在齊次座標系中就變爲$(1,2,0)$。
注意，我們可以不使用$\infty$，表示無限遠的點了。

爲什麼稱爲“齊次”（homogenous）?

按前面所說，笛卡爾座標系與齊次座標系的變化公式是：

下面看一個例子：

正如例子所表述的，齊次座標系中的任何標量乘法都表示歐式空間中的同一個點，即：
$a*(x,y,w) => (X,Y)$
也就是說齊次座標系具有縮放不變性。

證明：兩個平行的直線可以相交

考慮歐式空間中的兩個平行直線

我們知道，如果$C\neq D$，方程是沒有解的，也就是說兩條平行的直線沒有交點。

我們可以引入$w$，使用齊次座標系來重寫方程：

這個方程的解是：$(x,y,0)$，因此兩條直線相交於點$(x,y,0)$，也就是無窮遠的點。

總結

齊次座標系在計算機圖像領域非常有用，比如將3維物體投影到2維平面中。