(g∘f=eX)⇒(g是滿射)∧(f是單射)
- 假設:f:X→Y, g:Y→X,且g∘f=eX:X→X。
- 則,X=eX(X)=(g∘f)(X)=g(f(X))⊂g(Y),這表明g是滿射。
- 此外,如果x1∈X, x2∈X, 則
(x1=x2)⇒(eX(x1)=eX(x2))⇒((g∘f)(x1)=(g∘f)(x2))⇒(g(f(x1))=g(f(x2)))⇒(f(x1)=f(x2)),
所以f是單射。
注意上式最後一步的推導,因爲函數可以多對1,但不能1對多。
比如:如果x1=x2, 則可能有f(x1)=f(x2), 也可能有f(x1)=f(x2);
但是,如果f(x1)=f(x2), 則一定有x1=x2。