有理數的戴德金分割

實數集$R$的戴德金分割

定義： 將實數集$R$分爲兩個子集$S$和$T$，他們滿足：

1. $S\neq \varnothing$,$T \neq \varnothing$;
2. $R=S\cup T$;
3. $\forall x \in S,\forall y \in T$,總有$x<y$（稱$S$爲左集，$T$爲右集）。

則稱爲實數集$R$的一個“戴德金分割”，記做$(S,T)$

戴德金定理

對於實數集$R$的任何一個戴德金分割$(A,B)$，這時或者上集$B$有最小值，或者下集$A$有最大值，這個值被稱爲中介點。

有理數集的分割

設$c$爲正整數，且不爲整數的平方。
$A=\{a\in Q|a\le 0 \bigvee a^2\le c \}$
$B=\{b\in Q|b> 0 \bigwedge b^2> c \}$
這時$A$和$B$就是有理數集上的一個戴德金分割。

可以證明，$A$無最大數，$B$無最小數，所以有理數集上的戴德金分割不一定有中介數。

引入無理數

在上面的有理數分割中，引入無理數，就可以建立實數集$R$。也就是說在有理數集中進行戴德金分割，能夠產生新的數。

而在實數集中進行戴德金分割，則不能產生新的數。

完備性公理

所以可以說戴德金定理和實數模型中的完備性公里是等同的。