题目
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
问总共有多少条不同的路径？(从坐上角走到右下角)
例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？
说明：m 和 n 的值均不超过 100。
示例 1:
输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2:
输入: m = 7, n = 3
输出: 28
题解
这道题拿到题目我觉得大家的第一反应都是这应该是递归的题目,因为我们可以转化为子问题，但是这样暴力肯定会超时,就不用尝试了。其实在该题递归的方法就是从上面到下面不断的去尝试,如果我们能记住之前的结果,就对我们下一步有帮助,所以想到了DP的方法。
那么需要我们遵循DP求解的步骤：
1）.定义一个能够清楚描述最优子问题的数组（明确数组描述的含义）。
2）.找出数组元素之间的关系式(状态转移方程)
3）.找出初始值
格子中的数字代表当前的方法.
1.定义dp[i][j] 代表 当前位置(i,j)有多少种方式能够走到这个位置
2.我们知道dp[i][j]由 dp[i-1][j]或者dp[i][j-1]转移过来 由此我们可以得到状态转移方程： dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j];
3.初始化
- 当前这个状态只和左边和上边的格子有关系,并且依次求解：
![]()
优化
上面我们在求解的时候,发现并不需要保存整个矩阵的状态，只需要当前行和当前列即可，同时又可以进一步优化，当前行我们可以使用外层循环的方式，状态累加到dp[j]上 ，于是状态转移方程编程:
res[j] = res[j] + res[j-1]
dp[1] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
dp[j] += dp[j - 1];
}
}
return dp[m];