2.2 變換（模型、視圖、投影）

三維變換

• 仿射變換
• 三維旋轉變換
  • 逆時針角度爲正
  • 右手系原因，y軸逆時針看去是 zox 平面，所以轉角應該是 $-\alpha$
  • 也可理解爲
    • $z \times x = y\ , \quad x \times z = -y$
      
• Rodrigues’ Rotation Formula
  • 給定過原點旋轉軸 n， 旋轉角 $\alpha$，旋轉矩陣如下
  • 非過原點軸，先把軸平移到原點，旋轉，再平移回去

• 四元數（略）

觀測變換（Viewing transformation）

視圖 （View）

• 什麼是視圖變換
• 模型變換與視圖變換，兩者通常一同處理
  • 改變模型動作，模型變換
  • 改變相機視角，視圖變換
  • 拍照，相當於投影變換
• 爲什麼要模型 / 視圖變換
  • 因爲模型有很多頂點
  • 這些頂點座標是模型空間下的
  • 需要移動到世界座標
  • 所以要做模型變換

定義相機

• 位置 / position $\quad \vec{e}$
• 朝向 / gaze direction $\quad \hat{g}$
• 向上方向 / Up direction $\quad \hat{t}$

• 約定俗成的相機
  • 永遠放在原點
  • 永遠朝向 $-Z$
  • $\hat{t} = Y$

如何將相機移動到約定俗成位置

• 相機變換過程
  • 平移到原點
  • 旋轉 $\ \hat{g} = -Z$
  • 旋轉 $\ \hat{t} = Y$
  • 旋轉 $\ g \times t = X$
• 相機變換矩陣推導（旋轉矩陣可以逆向思維）
  

投影 （Projection）

• 3D到2D
• 正交是垂直
• 透視投影平行線不再平行
  • 近大遠小

正交（Orthography）$\quad M_o$

• 簡單的正交投影
  • Z歸零
  • 歸一化$\ [-1,\ 1]$
• 常規的正交投影
  • 立方體中心平移到原點
  • 邊長歸一化$\ [-1,\ 1]$
• 正交變換矩陣如下：
  

透視（Perspective）$\quad M_p$

• 特點
  • 最廣泛的投影
  • 近大遠小
  • 平行線不再平行
• 投影方法
  • 從透視變換到正交
  • 正交投影
  • 假設顯示屏幕距原點距離爲$\ n$
• 透視到投影矩陣推導（根據以下三個點）
  • 通俗的講，把梯形壓縮成長方形
    • 中間點等比例變換
    • 近平面、遠平面上的 $Z$ 座標不變

$(x, y, z, 1) \rightarrow (x', y', z, 1) \quad \quad (x', y', z', 1) \rightarrow (x', y', z', 1)$

• 透視變換矩陣如下
  $M_p = M_o \cdot \left( \begin{matrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+z & -nz \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right)$

透視變換，中間平面的 $z$ 座標如何變化？