如何在SPSS中做數據正態轉化

嚴格說來，回答你的問題需要講四個W：

1. What's normal transformation?（什麼是正態轉換）
2. Why do we need normal transformation?（爲何做正態轉換）
3. When is normal transformation needed? （何時做正態轉化）
4. How can we do normal transformation?（如何做正態轉化）

我擔心如果只講How（如何做），也許有些初學者不分場合，誤用濫用。但是，我同樣擔心如果從ABC講起，難免過分囉嗦，甚至有藐視大家的智商之嫌。所幸者，我們已經進入Web2.0年代，有關上述What, Why,When問題的答案網上唾手可得。如果對這些問題不甚了了的讀者，強烈建議先到google上用“How to transform datato normal distribution"搜一下（或點擊下面的“前10條”），前10條幾乎每篇都是必讀的經典。

有了上述交代，我們可以比較放心地來討論如何做正態轉化的問題了。具體來說，涉及以下幾步：

第一步，查看原始變量的分佈形狀及其描述參數（Skewness和Kurtosis）。這可以用Frequencies中的Histogram或Examination中的BoxPlot，如：

FREQUENCIES VAR = x / STATISTICS = SKEW, KURT /HISTOGRAM = NORMAL.

EXAMINE VAR = x / STATISTICS = SKEW, KURT / PLOT =BOXPLOT.

第二步，根據變量的分佈形狀，決定是否做轉換。這裏，主要是看一下兩個問題：

1. 左右是否對稱，也就是看Skewness（偏差度）的取值。如果Skewness爲0，則是完全對稱（但罕見）；如果Skewness爲正值，則說明該變量的分佈爲positivelyskewed（正偏態，見下圖1b）；如果Skewness爲負值，則說明該變量的分佈爲negativelyskewed（負偏態，見圖1a）。然而，肉眼直觀檢查，往往無法判斷偏態的分佈是否與對稱的正態分佈有“顯著”差別，所以需要做顯著性檢驗。如同其它統計顯著性檢驗一樣，Skewness的絕對值如大於其標準誤差的1.96倍，就被認爲是與正態分佈有顯著差別。如果檢驗結果顯著，我們也許（注意這裏我用的是“也許”一詞）可以通過轉換來達到或接近對稱，但見注1中的說明。

   圖1a

   圖1b

2. 峯態是否陡緩適度,也就是看Kurtosis（峯態）是否過分peaked（陡峭）或過分flat（平坦）。如果Kurtosis爲0，則說明該變量分佈的峯態正合適，不胖也不瘦（但罕見）；如果Kurtosis爲正值，則說明該變量的分佈峯態太陡峭（瘦高個，見圖2b）；反之，如果Kurtosis爲負值，該變量的分佈峯態太平緩（矮胖子，見圖2a）。峯態是否適度，更難直觀看出，也需要通過顯著檢驗。如同Skewness一樣，Kurtosis的絕對值如果大於其標準誤差的1.96倍，就被認爲與正態分佈有顯著差別。這時，我們也許可以通過轉換來達到或接近正態分佈（峯態），但見注1中的說明。

圖2a

圖2b

第三步、如果需要做轉化，還是根據變量的分佈形狀，確定相應的轉換公式。最常見的情況是正偏態加上陡峯態。如果是中度偏態（如Skewness爲其標準誤差的2-3倍），可以考慮取根號值來轉換，以下是SPSS的指令（其中"nx"是原始變量x的轉換值，參見注2）：

COMPUTE nx = SQRT(x).

如果高度偏態（如Skewness爲其標準誤差的3倍以上），則可以取對數，其中又可分爲自然對數和以10爲基數的對數。如以下是轉換自然對數的指令（注2）：

COMPUTE nx = LN(x).

以下是轉換成以10爲基數的對數（其糾偏力度最強，有時會矯枉過正，將正偏態轉換成負偏態，注2）：

COMPUTE nx = LG10(x).

另外，在計量經濟學中廣泛使用Box-Cox轉換方法，有些時間序列分析的專用軟件中提供轉換程序，但SPSS並不提供。雖也可以寫syntax來做，但很複雜，在此不談了。

上述公式只能減輕或消除變量的正偏態(positiveskewed)，但如果不分青紅皁白（即不仔細操作第一和第二步）地用於負偏態（negativeskewed）的變量，則會使負偏態變得更加嚴重。如果第一步顯示了負偏態的分佈，則需要先對原始變量做reflection（反向轉換），即將所有的值反過來，如將最大值變成最小值、最小值變成最大值、等等。如果一個變量的取值不多（如7-分量表），可用如下指令來反轉：

 RECODE x(1=7)(2=6)(3=5)(5=3)(6=2)(7=1).

如果變量的取值很多或有小數、分數，上述方法幾乎不可能，則需要寫如下的指令（不知大家現在是否信服了爲什麼要學syntax嗎？）：

COMPUTE nx = max - x + 1.

其中max是x的最大值。

第四步、回到第一步，再次檢驗轉換後變量的分佈形狀。如果沒有解決問題，或者甚至惡化（如上述的從正偏態轉成負偏態），需要再從第二或第三步重新做起，然後再回到第一步的檢驗，等等，直至達到比較令人滿意的結果（見注3）。

注：

1. 如同其它統計檢驗量一樣，Skewness和Kurtosis的的標準誤差也與樣本量直接有關。具體說來，Skewness的標準誤差約等於，而Kurtosis的標準誤差約等於，其中n均爲樣本量。由此可見，樣本量越大，標準誤差越小，因此同樣大小的Skewness和Kurtosis在大樣本中越可能與正態分佈有顯著差別。這也許就是SW在問題中提到的“很多學科都在講大樣本不用太考慮正態分佈問題”的由來。我的看法是，如果小樣本的Skewness和Kurtosis是顯著的話，一定要轉換；在大樣本的條件下，如果Skewness和Kurtosis是輕度偏差，也許不需要轉換，但如果嚴重偏差，也是要轉換。
2. 大家知道，根號裏的x不能爲負數，對數或倒數裏的x不能爲非正數（即等於或小於0）。如果你的x中有是負數或非正數，需要將其做線性轉換成非負數（即等於或大於0）或正數（大於0），如COMPUTE nx = SQRT (x - min) 或 COMPUTE nx =LN (x - min + 1)，其中的min是x的最小值（爲一個非正數）。
3. 不是任何分佈形態的變量都可以轉換的。例外之一是“雙峯”或“多峯”分佈（distribution with dual ormultiple modality），沒有任何公式可以將之轉換成單峯的正態分佈