CSP共空間模式詳解

特徵提取的算法

CSP共空間模式

共空間模式(CSP)是一種對二分類任務下的空間濾波特徵提取算法，能夠從多通道的腦機接口數據裏面提取出每一類的空間分佈成分。共空間模式算法的基本原理是利用矩陣的對角化，找到一組最優的空間濾波器進行投影，使得兩類信號的方差值差異最大化，從而得到具有較高區分度的特徵向量。

假設$X_1$和$X_2$分別爲二分類想象運動任務下的多通道誘發相應時空信號矩陣，他們的維數均爲$N*T$,N表示腦電的通道數，$T$爲每個通道所採集的樣本數。爲了計算協方差矩陣，現在假設$N<T$。在兩種腦電想象任務情況下，一般採用複合源的數學模型來描述$EEG$信號，爲了方便計算。一般忽略噪聲所產生的影響。$X_1$和$X_2$可以分別寫成：

                 $X_1=\left[\begin{matrix} C_1 C_M \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} S_1 \\S_M \end{matrix} \right]$, $X_2=\left[\begin{matrix} C_2 C_M \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} S_2 \\ S_M\end{matrix}\right]$           (1)

$(1)$ 式中，分別代表兩種類型任務，不妨假設者兩個源信號是相互線性獨立的；$S_M$代表兩種類型任務下所共同擁有的源信號，假設$S_1$是由$m_1$個源所構成的，$S_2$是由$m_2$個源所構成的,則$C_1$和$C_2$便是由$S_1$和$S_2$相關的$m_1$和$m_2$個共同空間模式組成的，由於每個空間模式都是一個$N*1$維的向量，現在用這個向量來表示單個的源信號所引起的信號在$N$個導聯上的分佈權重。$C_M$表示的是與$S_M$相應的共有的空間模式。$CSP$算法的目標激就是要設計空間濾波器$F_1$和$F_2$得到空間因子$W$

1.1求兩類數據的混合空間協方差矩陣

$X_1$和$X_2$歸一化後的協方差矩陣$R_1$和$R_2$分別爲：

                            $R_1=\frac{X_1X_1}{trace(X_1X_1^T)},R_2=\frac{X_2X_2}{trace(X_2X_2^T)}$                $(2)$

$(2)$式中：$X_T$表示$X$矩陣的轉置，$trace(X)$表示對角線上元素的和，然後求混合空間協方差矩陣R:

                            $R=\bar{R}_1+\bar{R}_2$                                                    $(3)$

$(3)$ 式中: $\bar{R}_i(i=1,2)$ 分別表示任務12實驗的平均協方差矩陣

1.2應用主成分分析法，求出白化特徵值矩陣P

對混合空間協方差矩陣$R$式進行特徵值分解

                                         $R=UλU^T$                     $(4)$

$(4)$式中:$U$是矩陣$λ$的特徵向量矩陣，$λ$是對應的特徵值構成的對角陣。將特徵值及逆行降序排列，白化值矩陣爲：
                                    $P=\sqrt{λ^{-1}}U^T$                        $(5)$

1.3構造空間濾波器

對$R_1$和$R_2$進行如下變換：

                    $S_1=PR_1P^T,S_2=PR_2P^T$                    $(6)$

然後對$S_1$和$S_2$做主分量分解，得到:

                    $S_1=B_1λ_1B_1^T,S_2=B_2λ_2B_2^T$

通過上面的式子可以證明矩陣$S_1$的特徵向量和矩陣$S_2$的特徵向量矩陣是相等的，即：

                        $B_1=B_2=V$                    

與此同時，兩個特徵值的對角陣$λ_1$和$λ_2$之和爲單位矩陣，即：

                        $λ_1+λ_2=I$

由於兩類矩陣的特徵值相加總是1，則$S_1$的最大特徵值所對應的特徵向量使$S_2$有最小的特徵值，反之亦然。

把$λ_1$中的特徵值按照降序排列，則$λ_2$中對應的特徵值按升序排列，根據這點可以推斷出$λ_1$和$λ_2$具有下面的形式：

白化EEG到與$λ_1$和$λ_2$中的最大特徵值對應的特徵向量的變換對於分離兩個信號矩陣中的方差是最佳的。投影矩陣$W$是對應的空間濾波器爲:
                        $W=B^TP$

1.4特徵提取

將訓練集的運動想象矩陣$X_L,X_R$經過構造的相應濾波器$W$濾波可得特徵$Z_L,Z_R$爲：

                            $Z_L=W×X_L$            

                            $Z_R=W×X_R$                

根據$CSP$算法在多電極採集腦電信號特徵提取的定義，本研究選取$f_L$和$f_R$爲想象左和想象右的特徵向量，
定義如下：

                    $f_L = \frac{var(Z_L)}{\sum{var(Z_L)}}$

對於測試數據$X_i$來說，其特徵向量$f_i$提取方式如下，並與$f_L$和$f_R$進行比較以確定第i次想象爲想象左或者想象右。

        
$\left\{ \begin{aligned} Z_i& = & W×X_i \\ f_i& = & \frac{var(Z_i)}{\sum{var(Z_i)}} \end{aligned} \right.$