贝叶斯公式回顾

贝叶斯公式

$P(A_j|B)=\frac{P(A_j,B)} {P(B)} = \frac{P(A_j)P(B|A_j)} {\sum\limits_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)}$
其中$P(A_j,B) = P(A_jB) = P(A_j)P(B|A_j)$是利用乘法公式，就是贝叶斯的逆用比较好理解，而$P(B) = \sum\limits_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$是利用全概率公式得出，所以下面先介绍下全概率公式

全概率公式

$P(A) = \sum\limits_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)$

推导

$P(A) = P(A\Omega)=P(A(B_1\cup B_2 ... \cup B_n)) = \sum\limits_{i=1}^{n}P(AB_i) = \sum\limits_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)$

全概率公式应用

血型	1(O)	2(A)	3(B)	4(AB)
比例	a	b	c	d

求随机2人，甲能给乙输血概率:
$A$ = {符合命题}，$B_i$={甲为i型血} i= 1,2,3,4
$P(A|B_1)=1$
$P(A|B_2)=b+d$
$P(A|B_3)=c+d$
$P(A|B_4)=d$
$P(A)= \sum\limits_{i=1}^{4}P(B_i)P(A|B_i) = a + b(b+d) + c(c+d) + d(d)$
tip：为什么用全概率求解，这里的理解是甲能给乙输血首先要确定甲血型，所以分为两阶段。分解第一阶段为$\Omega=\sum\limits_i^nB_i$，再求第二阶段$A$，应用全概率公式求$P(A)$。

贝叶斯公式应用

$A$={从乙中取出白球}
$B_i$={从甲中取出的有i个白球} i=0,i,2
分析下：
要求$q=P(B_1|A)$，先使用贝叶斯公式
$P(B_1|A)=\frac{P(B_1,A)} {P(A)}$

其中$P(B_1,A)$和$P(A)$未知，在利用乘法和全概率公式
替换
$\frac{P(B_1,A)} {P(A)}= \frac{P(B_1)P(A|B_1)} {\sum\limits_{i=0}^{2}P(B_i)P(A|B_i)}$
$P(B_i)$和$P(A|B_i)$都比较好求，其中$P(B_i)$需要使用古典概型求，比如$P(B_1) = \frac{C_3^1C_2^1}{C_5^2}=\frac{1}{10}$，$P(A|B_1)=\frac{5}{10}$，最后$q=\frac{15}{26}$
tip：假设取出是白球能不能推出$P(A)=1$，显然不能，$P(A)$为实际概率。而题目给出的假设对假设下的事件$B_1$产生影响，实际$P(B_1) = \frac{1}{10}$，而$P(B_1|A) = \frac{15}{26}$。