凸優化之內點法

Convex Optimization Stephen Boyd Department of Electrical Engineering Stanford University 第11章
本文爲筆者結合原書及博客https://blog.csdn.net/dymodi/article/details/46441783 記錄自己相關解釋

原始問題

原始問題對應的拉格朗日公式爲：

利用障礙函數轉化爲似似的等式約束優化問題

只有t足夠大時，新問題的可行域會逼近原始問題，纔是對原問題的一個很好的近似。
下面有相關的理論證明和直觀的例子加以說明。

理論解釋：t足夠好，可以逼近原始問題

定義中心路徑後 ，新問題的優化拉格朗日函數

同時除以t可以發現

原始問題對應的拉格朗日公式爲：

發現的是，新問題的拉格朗日是將原始問題中的約束項係數$\lambda_i，\hat{v}$轉化爲
因此：我們得出求解原始問題的新的思路，即將原始問題的拉格朗日中的約束係數轉化爲上述新問題中的約束項係數，即將原問題轉化爲新問題。
而這樣近似造成的誤差是多少呢？

誤差是m/t ，只要t足夠大，誤差可趨於0。

進一步KKT解釋如下

內層優化求$x^*(t)$時，利用牛頓法求解，
總之障礙法可以解釋爲通過障礙函數近億約束函數，從而將不等式約束轉化爲等式約束問題的求解