高級算法設計之 -- Derandomized MAXCUT Approximation

筆記來源：高級算法設計（孫曉明老師部分）
本文參考：http://people.seas.harvard.edu/~salil/pseudorandomness/basic.pdf

關於條件期望用於去隨機化的原理https://blog.csdn.net/qq_38662930/article/details/105141845

最大割

定義將圖的頂點分爲兩個集合，使得集合間的邊數最大
形式化定義：


設最優的割劃分爲$OPT$,隨機算法求出的一個割爲$\delta(U)$定義其比值 爲$\frac{\delta(U)}{OPT}$,比值越接近1越好 。通過隨機 算法可以找到一個之割，其期望割邊至少是邊數的二分之一。

主要思想是：對於每一個頂點以擲硬幣的方式決定其是否屬於所求的割。

證明：分爲兩個集合S和T，$\forall (u_i,v_j) \in E \\ 當u_i \in S,v_j \in T，或u_i \in T,v_j \in S時\\ 即pr(x_i\ne x_j) ,則u_i,v_j 在對應的割 中\\ Pr\{(u_i,v_j)\in E(S,T)\}=1/4+1/4=1/2，\\此時E\{\delta(U) \}=\frac{E}{2}$,
當不再是硬幣選擇是（例如1/3，則結果可以是5/9），概率變會提高，因此最小是1/2

利用條件期望去隨機化

主要思想：利用逐次固定變量的優化方法，先通過期望找到一個好的然後利用條件期望去隨機化。
如上圖所示，我們己經求出$E(|E(A,B)|)$的期望，然後利用全概率公式展開成關於$Z_1(表示第一個頂點是否進入所求割)$的條件概率期望,我們總能求出關於$E(Y|Z_1=1)$和$E(Y|Z_1=0)$的大小關係，然後向上放大。接下來我們再求出關於$Z_1 $的最優解，然後再對$X_2 $進行展開和放大，直到所有的頂點全部展開.

從而求得一個可行割$|E（A,B）|=E（Y|u_1\in A,u_2\in B...）\geq E(|E(A,B)|)$