同余式、幂与费马小定理

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​ 看过了整数的规律，那么整数 $a$ 的幂 $a^1,a^2,\cdots$ 模 $m$ 是否存在规律呢？一般来说，最好识别出同余规律的是素数，我们就从素数模开始。

​ 按照一般数论研究的方法，我们先列出一些数据，观察其中是否存在某些规律（ $a=1,2,3,\cdots$ ）：

​ 在这些表中可以看出许多有趣的规律，在此我们介绍其中的一个——费马小定理。这个结果由费马最先提出，但是费马并没有证明。第一个证明是莱布尼茨提出的。

费马小定理：

​ 设 $p$ 是素数， $a$ 是任意整数且 $a\not\equiv0(\ mod\ p)$ 则
$a^{p-1}\equiv 1(\ mod\ p)$

​ 在让人头疼的证明之前，我们先看看费马小定理到底有什么用。回想之前介绍过的索引余数系统（Index RNS），就是使用 $a\equiv g^\alpha\ mod\ p$ 来表示整数的。那么接下来对于 RNS 提出两个问题，并使用费马小定理解决这两个问题：

1. 当 $\alpha$ 很大时，如何快速计算出 $a$ ？

2. 当已知 $a,\alpha,p$ 时，如何求解 $g$ ？

解:

1. 例如当计算 $2^{35}(\ mod\ 7)$ 时，利用费马小定理可得 $2^6\equiv1(\ mod\ 7)$
   $2^{35}=2^{6\times5+5}=(2^6)^5+2^5\\ \equiv1^5\times2^5(\ mod\ 7)\equiv32(\ mod\ 7)\equiv4(\ mod\ 7)$

2. 假设解同余式 $4\equiv x^{103}(\ mod\ 11)$ ，根据费马小定理有 $x^{10}\equiv1(\ mod\ 11)$
   $x^{100}=(x^{10})^{10}+x^3$
   则原同余式可以等价为求解:
   $4\equiv x^3(\ mod\ 11)$
   则通过几次尝试或查找表即可完成求解。

​ 接下来开始证明费马小定理：

​ 为了详细地叙述证明思路，先证明一个特例：$3^6\equiv 1(\ mod\ 7)$ 。

观察 $x(\ mod\ 7),x=1,2,\cdots,6$ ，将其乘以3：

$x(\ mod\ 7)$	1	2	3	4	5	6
$3x(\ mod\ 7)$	3	6	2	5	1	4

​ 不难发现，第二行的数同样还是 $123456$ ，只不过进行了重新排序，将第一行和第二行分别相乘，可以得到下面的结论：
$(3*1)(3*2)(3*3)(3*4)(3*5)(3*6)\equiv6!(\ mod\ 7)$
即：
$3^6*6!\equiv6!(\ mod\ 7)$
由于 $6!$ 和 7 互素，则可以从同余式两边消去.即得证 $3^6\equiv1(\ mod\ 7)$

接下来将这一结论拓展到一般性。首先证明上面用到的一个重要结论：

断言： 设 $p$ 是素数，$a$ 是任何整数且 $a\not\equiv0(\ mod\ p)$ 则数
$a,2a,3a,\cdots,(p-1)a\ (\ mod\ p)$
与
$1,2,3,\cdots,(p-1)\ (\ mod\ p)$
相同，只是次序不同。

证明： 由于 $a$ 是任何整数且 $a\not\equiv0(\ mod\ p)$ ，则显然 $a,2a,3a,\cdots,(p-1)a\ (\ mod\ p)$ 中没有一个数能够被 $p$ 整除。假设从数列中取出两个数 $ja,ka$ ，令 $1\leq j,k\leq p-1$ ，并假设他们同余
$ja\equiv ka(\ mod\ p)$
则 $p\mid(j-k)a$ 由于 $p$ 不整除 $a$ ，根据素数整除性定理可以得到：
$p\mid (j-k)$
同时 $|j-k|<p-1$ ，不难看出 $j-k=0$ 即 $j=k$ 。

从这里可以得出一个结论：$a,2a,3a,\cdots,(p-1)a$ 中任意的两个值对模 $p$ 不同。但是仅有 $p-1$ 个数对模 $p$ 不同，即 $1,2,3,\cdots,(p-1)$，则两数列 $a,2a,3a,\cdots,(p-1)a$，$1,2,3,\cdots,(p-1)$ 此时完成了断言的证明。

接下来利用这一断言证明费马小定理：

证明： 由于数列 $a,2a,3a,\cdots,(p-1)a$ 与 $1,2,3,\cdots,(p-1)$ 相同，则
$a\cdot (2a)\cdot(3a)\cdots((p-1)a)\equiv1\cdot2\cdot3\cdots(p-1)(\ mod\ p)$

$a^{p-1}\cdot(p-1)!\equiv(p-1)!(\ mod\ p)$

由于 $(p-1)!$ 和 $p$ 互素，消去 $(p-1)!$ 则可以得到费马小定理：
$a^{p-1}\equiv1(\ mod\ p)$

参考文献：A Brief Introduction to Number Theory --Joseph H.Silverman