向量是指具有大小和方向的量,在物理学中,通常将向量称为矢量
标量是指只有大小的量,在物理学中,也叫做标量
箭头的方向表示向量的方向,线段则表示向量的大小
向量的众多特性可以是很多概念得到简化
一,向量
1,向量的表示
- 直角座标系表示:带箭头的线段
- 印刷体表示:粗体字母 ,如a、b、D
- 手写体表示:字母上加一个向右的箭头,如a、b、D
- 代数表示:a=<x1,x2>=(x1,x2)=(x1x2)=[x1x2]
- 模的表示:∣a∣=x12+x22
2,维度和分量
首先这里可以打开思路,有人问我,你能想象四维的空间吗?不能想象就别乱说了。我的确想象不出来,的确我也不能再平面上画出一个四维的空间,但是这里的维度是数学层面的!
每一个维度都可以代表任意我们能想象到的事物,这里的维度完全取决与我们对每个维度的定义!
- 每个维度中的内容:数字、文字或是其他符号都可以
- 不同维度的表示:n维空间用Rn表示,如二维空间R2、三维空间R3
- 维度的分量:向量在其中一个维度上的值成为该维度的分量,如R3空间的向量a=(1,2,9),那么a再三个维度的分量分别是1,2,9
3,零向量和单位向量
- 零向量:长度为零的向量,与任何向量平行,可记作O或Z(zero),O=⎣⎡000⎦⎤,O∈R3
- 单位向量:一个非零向量除以它的模,得到单位向量,N=∣a∣a
二,向量的运算
1,加减法
①加法
向量的加法很简单,将相同维度的向量依次相加就行了
简单举个例子:
a=⎣⎡a1a2a3⎦⎤,b=⎣⎡b1b2b3⎦⎤,a+b=⎣⎡a1+b1a2+b2a3+b3⎦⎤
②减法
和加法一样简单,把相同维度的向量依次相减即可
简单举个例子:
a=⎣⎡a1a2a3⎦⎤,b=⎣⎡b1b2b3⎦⎤,a−b=⎣⎡a1−b1a2−b2a3−b3⎦⎤
2,数乘
向量乘上一个标量就可以组成数乘的运算
简单举个例子:
v=[79],v×2=[1418],v×−6=[−42−54]
3,点积
从向量角度看, 对应点对应积的和就是点积运算,点积的结果是标量
简单举个例子:
a=⎣⎡a1a2a3⎦⎤,b=⎣⎡b1b2b3⎦⎤,a⋅b=a1×b1+a2×b2+a3×b3=∑i=13aibi
从几何角度看,对应的模乘夹角余弦
a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ
4,叉积
二维空间中,叉积的定义如下
a=[a1a2],b=[b1b2]
a×b=∣∣∣∣a1b1a2b2∣∣∣∣=a1b2−a2b1
叉积的结果是向量
从几何角度看,叉积的模等于对应的模乘夹角正弦
a×b=∣a∣∣b∣sinθ
三,行列式
1,组成
行列式是由向量组成的式子,是一种运算,结果为向量
如上面的叉积就是一个简单的二阶行列式:
∣∣∣∣a1b1a2b2∣∣∣∣
2,性质
- 单位矩阵的行列式为1
- 如果Dn=det(A)中某行的元素全为0,那么Dn=0
- 如果Dn=det(A)中某两行元素对应成比例,那么Dn=0
- 如果Dn=det(A)中某两行互换,那么互换后的行列式编号,即det(A)=−det(A)
- 倍乘性质:det(kAn×n)=kndet(An×n)
- 倍加性质:∣∣∣∣a1b1a2b2∣∣∣∣=∣∣∣∣a1b1+ka1a2b2+ka1∣∣∣∣
- 单行(列)可拆(加)性:∣∣∣∣∣∣∗a1∗a2a3∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∗b1∗b2b3∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∗a1+b1∗a2+b2a3+b3∣∣∣∣∣∣
- 两个矩阵相乘的行列式,等于这两个矩阵的行列式相乘:det(A2)=(det(A))2
3,意义
线性代数研究向量之间的关系,最重要的关系就是独立或不独立,行列式等于0即向量独立,即对应方程组有唯一解
4,计算
上(下)三角矩阵的行列式等于主对角元素的乘积
计算原则:利用行列式的性质化简成上(下)三角矩阵的样子,然后计算乘积
通过公式:
det(A)=n!∑±a1αa2βa3γ⋅⋅⋅anω
四,代数余子式
代数余子式优点像俄罗斯套娃,可以把行列式的阶数一直打开到只剩一阶(一个数)
什么是代数余子式,举个例子:
三阶行列式的计算公式如下
det(A)=a11(a22a33−a23a32)−a12(a21a33−a23a31)+a13(a21a32−a22a31)
1,代数余子式公式:
det(A)=a11C11+a12C12+⋅⋅⋅+a1nC1n=i=1∑na1iC1i
Cxy就是axy的代数余子式,若x+y为奇数,axy为负数
五,结束语:以上内容如有错误或不妥欢迎指出,谢谢!
小白学识有限,难免无不妥之处,欢迎批评指正!