离散数学之集合论【中】

一、有序组

有序组

〉元素的无序性是集合的特征之一，那么元素的有序组合又该如何从集合定义？
〉二元有序组，又称二元组(2-tuple)，或者序偶(ordered pairs)
〉设 a,b 为任意对象，称集合族 {{a},{a,b}} 为二元有序组，简记为 <a,b>
〉称a为<a,b>的第一分量，b为第二分量

“有序”的含义？
〉定理：对于任意序偶 <a,b>, <c,d>，<a,b>=<c,d> 当且仅当a=c且b=d

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证明：

〉充分性是显然的
〉证明必要性：设<a,b>=<c,d>，也就是
〉 {{a},{a,b}}={{c},{c,d}}
〉 $\Rightarrow$ ∪{{a},{a,b}}=∪{{c},{c,d}} $\Rightarrow$ {a,b}={c,d}
〉以及，{{a},{a,b}}={{c},{c,d}}
〉 $\Rightarrow$ ∩{{a},{a,b}}= ∩{{c},{c,d}} $\Rightarrow$ {a}={c}
〉综合两式，有a=c且b=d

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〉当a≠b时：<a,b>≠<b,a>
〉但{a,b}={b,a}
〉有序组 {{a},{a,b}} 的巧妙定义，利用元素和集合的两个不同层次实现两个对象 a,b 的有序排列

〉 n元有序组(n-tuple) <a1,…,an>
递归定义：
〉 n=2时，<a1,a2> = {{a1},{a1,a2}} ；（递归出口）
〉 n>2时，<a1,…,an>= <<a1,…,an-1>, an>；（递归条件）
〉 ai 称为n元组的第i分量
〉定理：对于任意n元组 <a1,…,an>=<b1,…,bn> 当且仅当 a1=b1,…,an=bn

笛卡儿积：集合的一种运算

〉对任意集合 A1,A2,…,An，A1×A2 称作集合 A1，A2 的笛卡儿积，定义如下（递归定义）：
〉 A1×A2 = {<u,v> | u∈A1,v∈A2}
〉 A1×A2×… ×An =(A1×A2×… ×An-1) ×An

例子：A={1,2}，B={a,b}，则：
〉 A×B 等于{<1,a>, <1,b>, <2,a>, <2,b>}； B×A 等于{<a,1>, <a,2>, <b,1>, <b,2>} ； A× $\varnothing$ ＝ $\varnothing$ ×A＝ $\varnothing$
〉 R2={<x,y>|x,y是实数}，R2为笛卡儿平面；
〉 R3为三维笛卡儿空间
笛卡尔是解析几何创始人，首次用三元组表示空间中的点，统一了代数与几何
〉 一般来说：
〉 A×B≠B×A（不满足交换律）
〉 A×(B×C) ≠(A×B)×C（不满足结合律）

笛卡儿积对集合运算的分配律
〉定理：设A,B,C为任意集合，$表示∪,∩或－运算，那么：A×(B$C)=(A×B)$(A×C)， (B$C)×A=(B×A)$(C×A)
笛卡儿积的基数定义为如下：
〉定理：对于任意有限集合 A1,… ,An ，有|A1×…×An|=|A1|*…*|An|

二、关系

关系的基本概念

〉关系是各个对象之间的联系和对应
〉最常见到是两组对象之间的联系和对应。职员-部门的隶属关系
〉也有三组或者更多对象之间的联系和对应。供应商-工程-零件的供应关系
〉采用二元组或者多元组的集合来表示关系

ED={<张三,人事部>,<李四,销售部>,<王五,技术部>}
SPJ={<公司甲,大楼,水泥>,<公司甲,公路,水泥>,<公司乙,大楼,钢筋>,<公司丙,公路,沥青>}

关系的定义

〉 R 称为集合A1,A2,…,An-1到 An 的n元关系，如果 R 是 A1×A2×…×An 的一个子集。当A1=A2=…=An-1=An时，也称R为A上的n元关系。
〉如果R是A×B的一个子集，称R是A到B的二元关系，若R是A×A的一个子集，则称R是A上的二元关系。所有关系共 $2^{|A \times B|}$ 个
〉我们主要研究二元关系。

关系的例子

〉自然数的相等关系 = {<0,0>,<1,1>,<2,2>,…}（列举法）
〉 整除关系 D={<x,y>|x整除y}（描述法）

〉 小于关系 L：归纳法
〉基础条款：<0,1>∈L
〉归纳条款：若<x,y>∈L，则<x,y+1>∈L，<x+1,y+1>∈L
〉终极条款（略）

几个特殊的二元关系

〉 空关系 $\varnothing$ ， $\varnothing$ $\subseteq$ A×B，称 $\varnothing$ 为A到B的空关系
〉 全关系 A×B，笛卡儿积A×B是A到B的全关系
〉 相等关系 ={<x,x>|x∈A}，称作A上的相等关系

关系的几个概念

〉定义：设R为A到B的二元关系( R $\subseteq$ A×B)
〉 xRy 表示 <x,y>∈R， ¬xRy表示<x,y> $\notin$ R
〉 R的定义域 domain：
〉 Dom(R)={x|x∈A∧ $\exists$ y(<x,y>∈R)}
〉 R的值域 range：
〉 Ran(R)={y|y∈B∧ $\exists$ x(<x,y>∈R)}
〉称A为R的前域，B为R的陪域

关系的表示法

〉 集合表示法: R={<x,y>|P(x,y)}，适合于表示集合的几种方法均可，如前面的关系例子
〉 关系图法： 适用于前域和陪域都是有限集合，一般的关系图，有向箭头表示元素之间存在关系
〉也可以表示前域和陪域相同的关系图

前域和陪域不同的关系图

前域和陪域相同的关系图

关系矩阵法表示

〉前域和陪域都是有限集合
〉设关系R $\subseteq$ A×B，A={a1,…,am}，B={b1,…,bn}
关系R的关系矩阵的定义：
〉 $m_{ij}$ =1当且仅当
〉 $m_{ij}$ =0当且仅当 ¬

关系基本运算

运算基本定义
〉 关系相等: 如果关系R和S具有相同的前域和陪域，并且 ∀x∀y(xRy↔xSy)
〉关系运算中的前域和陪域: R $\subseteq$ A×B，A为前域，B为陪域
〉参与关系运算的两个关系应该具有相同的前域和陪域
这个条件不是本质的，因为总可以对关系的前域和陪域做适当的扩充，使之满足条件

作为集合的关系运算
〉 R和S为A到B的二元关系，R,S $\subseteq$ A×B
〉并：R∪S={<x,y>|xRy∨xSy}
〉交：R∩S={<x,y>|xRy∧xSy}
〉差：R－S={<x,y>|xRy∧¬xSy}
〉补：R－=A×B－R={<x,y>| ¬xRy}
并不是全集U-R，而是全关系与R的差

对应的关系矩阵运算
〉和为R、S的关系矩阵
〉并： $M_{R{\cup}S}$ =∨（矩阵对应分量做析取）
〉交： $M_{R{\cap}S}$ =∧（矩阵对应分量做合取）
〉补：－=()－（矩阵对应分量做否定）
〉差： $M_{R{-}S}$ =∩S－=∧－

关系逆运算(converse)
〉 R~={<y,x>| xRy }，R $\subseteq$ A×B
〉显然， R 的逆关系是 B 到 A 的关系：R~ $\subseteq$ B×A
〉逆关系关系矩阵的运算：~= $M_{R^T}$ ，矩阵转置
〉逆运算例子
~=； $\varnothing$ ~= $\varnothing$ ；(A×B)~=B×A
自然数“小于＜”关系的逆关系是“大于＞”
自然数“小于＜”关系的补关系是“大于或等于≥”

关系逆运算的性质
〉逆运算和并交差补等运算都满足分配律
〉 R,S $\subseteq$ A×B，$ 代表并交差运算之一
〉 R~~=R（两次逆复原）
〉 R~－=R－~（逆的补等于补的逆）
〉 (R$S)~=R~$S~（对并交叉运算分配律）
〉 R $\subseteq$ S当且仅当R~ $\subseteq$ S~
〉从矩阵转置角度来看，表现为转置运算不会改变矩阵分量的值

关系合成运算 (composition)
〉 R为A到B的二元关系，R $\subseteq$ A×B
〉 S为B到C的二元关系，S $\subseteq$ B×C
〉 R和S的合成关系 $R\circ S$ 定义为：
〉 $R\circ S$ ={<x,z>|x∈A ∧ z∈C∧∃y(y∈B∧xRy∧ySz)}
〉 简化形式： $R\circ S$ ={<x,z>|∃y(xRy∧ySz)}
〉 $R\circ S$ $\subseteq$ A×C，是A到C的二元关系
〉由于参与合成的第一个关系的陪域要等于第二个关系的前域，所以合成关系不满足交换律

关系合成运算的例子
〉设是A上的相等关系，是B上的相等关系，R $\subseteq$ A×B
〉 $\circ$ R=R $\circ$ =R
〉 $\varnothing$ $\circ$ R=R $\circ$ $\varnothing$ = $\varnothing$
〉 R $\circ$ R~ = （A×B，B×A） {<x,x>|∃y(xRy∧yRx)}
〉 R~ $\circ$ R=（B×A，A×B） {<y,y>|∃x(yRx∧xRy)}
〉兄弟关系和父子关系的合成是“叔侄”关系

用关系图表示合成运算

用关系矩阵表示合成运算
〉 关系合成运算对应关系矩阵的乘法
〉将数乘换成合取，将数加换成析取
〉设|A|=m，|B|=n，|C|=p，
〉 R $\subseteq$ A×B，S $\subseteq$ B×C，
〉则= $[r_{ij}]_{m*n}$ ， = $[s_{ij}]_{n*p}$
〉 T=R $\circ$ S，有T $\subseteq$ A×C，
〉 =*= $[t_{ij}]_{m*p}$
〉其中 $t_{ij}=\vee_{k=1..n}(r_{i,k}\wedge s_{k,j}) (i=1,..,m;j=1,..,p)$

合成运算的性质
〉 R $\circ$ (S∪T)=(R $\circ$ S)∪(R $\circ$ T)（左分配律）
〉 (S∪T) $\circ$ R=(S $\circ$ R)∪(T $\circ$ R)（右分配律）
〉 ∃x(A(x)∨B(x))╞╡∃xA(x) ∨ ∃xB(x)
〉 R $\circ$ (S∩T) $\subseteq$ (R $\circ$ S)∩(R $\circ$ T)
〉 (S∩T) $\circ$ R $\subseteq$ (S $\circ$ R)∩(T $\circ$ R)
〉 ∃x(A(x)∧B(x))╞∃xA(x)∧∃xB(x)
〉 (R $\circ$ S)~=S~ $\circ$ R~
〉 R $\circ$ (S $\circ$ T)=(R $\circ$ S) $\circ$ T（结合律）

关系的幂运算
〉定义为自身的n次合成
〉 =R $\circ$ … $\circ$ R（n个R合成）
〉 =
〉 幂运算的性质
〉 $\circ$ = $R^{n+m}$
〉 = $R^{nm}$
〉 可以把m看作参数，对n进行归纳法证明

幂关系有限定理
〉设集合A的基数为n，R是A上的二元关系，则存在自然数 i,j 使得0≤i＜j≤ $2^{n^2}$ ，有Ri=Rj
证明：
〉 R的任意次幂运算仍是 A 上的二元关系
〉有限集A上不同的二元关系数量是有限的
〉因为R $\subseteq$ A×A，而A×A子集的个数有限
〉如果|A|=n，A上的二元关系的数量是 $2^{n^2}$
〉根据“鸽笼原理”，在0～ $2^{n^2}$ 共计 $2^{n^2}$ ＋1个R的幂关系中，一定有两个是相同的

关系基本特性

A上一些特殊性质的二元关系
〉 自反关系(reflexive)
〉 ∀x(x∈A→xRx)
〉关系图：每个节点都有环
〉关系矩阵：对角线全为1
〉 反自反关系(irreflexive)
〉 ∀x(x∈A→ ¬xRx)
〉关系图：每个节点都没有环
〉关系矩阵：对角线全为0

〉 对称关系(symmetric)
〉 ∀x∀y(x,y∈A∧xRy→yRx)
〉关系图：两个节点之间有边的就有反向边
〉关系矩阵：对称矩阵
〉 反对称关系(antisymmetric)
〉 ∀x∀y(x,y∈A∧xRy∧yRx→x=y)
〉关系图：两个节点之间只能有一条单向边
〉关系矩阵： $c_{i,j}$ =1(i≠j)时 $c_{j,i}$ =0

〉 传递关系(transitive)
〉 ∀x∀y∀z(x,y,z∈A∧xRy∧yRz→xRz)
〉关系图：如果有边 $v_1v_2,...,v_{n-1}v_n$ ，则有边

〉例子：
〉设A={1,2,3}，R是A上的二元关系
〉 R={<1,1>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}是自反的
〉 R={<1,3>,<3,1>}是反自反的，不是自反的
〉 R={<1,1>}不是自反，也不是反自反

特殊性质二元关系的例子
〉 A上的空关系 $\varnothing$ 是反自反的，不是自反的
〉如果A= $\varnothing$ ，那么A上的空关系就是自反的，同时也是反自反的，因为注意定义谓词的前件 x∈A 始终为假
〉 R={<1,3>,<3,1>,<1,2>,<1,1>} 不是对称的，也不是反对称的。
〉 R={<1,2>,<2,1>}是对称的
〉 R={<1,2>,<3,1>}是反对称的
〉 A上的相等关系EA既是对称的，又是反对称的
〉 R={<1,2>,<2,3>,<1,3>,<3,3>}是传递的，但R-{<1,3>}不是传递的
〉空关系 $\varnothing$ 是传递的，R={<1,2>,<1,3>}也是传递的，因为它们使得传递定义的前件为假

〉所有非空集合上的：
空关系都是反自反、对称、反对称、传递的；
全关系是自反，对称，传递的；
相等关系是自反，对称，反对称，传递的；

〉整数集合上的整除关系是自反、反对称、传递的；
〉三角形的相似关系、全等关系都是自反、对称、传递的

关系特性定理

关系特性的一些定理
〉 R自反当且仅当 $\subseteq$ R
〉 R反自反当且仅当 ∩ R $\subseteq$ $\varnothing$
〉 R对称当且仅当R $\subseteq$ R~
〉设R对称，则：<x,y>∈R $\Rightarrow$ <y,x>∈R $\Leftrightarrow$ <x,y>∈R~
〉设R $\subseteq$ R~，则：
〉 xRy $\Rightarrow$ xR~y $\Leftrightarrow$ yRx，所以R对称
〉 R反对称当且仅当R∩R~ $\subseteq$

〉 R传递当且仅当 $\subseteq$ R

关系基本特性的运算封闭性
〉具有某特性的关系，在运算后，运算结果是否保持这个特性，称为运算封闭性
〉所有5个特性对交运算封闭，即如果R1、R2都具有某个特性，则R1∩R2仍具有
这个特性：
〉例证：对称性， $xR_1\cap R_2y\Leftrightarrow {\color{Blue} xR_1y \wedge xR_2y\Leftrightarrow yR_1x {\wedge}yR_2x} \Leftrightarrow yR_1 \cap R_2x$
〉自反、反自反、对称性对并运算封闭
〉例证：自反性， $xR_1x\Rightarrow xR_1x \vee xR_2x\Leftrightarrow xR_1\cup R_2x$ （并不要求R2具有特性）
〉反自反、对称、反对称对差运算封闭
〉例证：反对称： $xR_1-R_2y\wedge yR_1-R_2x\Rightarrow xR_1y\wedge yR_1x \Rightarrow x=y$
〉实际上，只要反对称，任何，都是反对称的
〉对称性对补运算封闭
〉 xR－y，假设¬yR－x，那么yRx，即xRy，和已知矛盾，所以有yR－x
〉所有5个特性对求逆运算均封闭
〉例证：传递，xR~y ∧ yR~z $\Leftrightarrow$ yRx ∧zRy $\Rightarrow$ zRx $\Leftrightarrow$ xR~z
〉自反对合成运算封闭，其它性质对合成运算均不封闭：
〉 xR1x ∧xR2x $\Rightarrow$ xR1 $\circ$ R2x

关系的闭包

因为关系的运算能够生成新的关系，但也可能会失去一些性质；另一方面，有的关系“先天性” 地就缺少一些特定的性质。那么此时，如果想要使关系具有某个缺失的性质，就可以使用关系关于某性质的闭包来实现。

定义：
R1 称作 R 的关于某特定性质的闭包，如果

R1 包含 R ；
R1 具有所希望的性质 ；且
R1 是 A 上满足 1 和2 条件的最小关系。

若 A 上的关系 S 也满足条件 1 和 2 则必然有R1 $\subseteq$ S 。

一般将关系 R 的：自反闭包记作 r(R)， 对称闭包记作 s(R)， 传递闭包记作 t(R)

例如：A = {0, 1}, R = { (1, 0), (1, 1) } R 的自反闭包是 { (0, 0), (1, 0), (1, 1) } 【注： 包含 R，具有自反性，是“最小的”】
上例子可通过列出集合 A 自身的所有笛卡尔积的关系矩阵表示。共 $2^{|A \times A|}$ = = 16 个关系。然后从中筛选出满足条件的。

但我们不可能所有的求闭包的问题都归结到列举法，然后在删除不满足条件的关系。我们需要找到其对应的代数运算规律。如下：

自反闭包（Reflexive Closure）
设 R 是集合 A 上的一个关系，则 R 的自反闭包是 R∪。

R $\subseteq$ R∪。
R∪ 具有自反性——由于 $\subseteq$ R∪。
若 R $\subseteq$ S且 S 是自反的，则 $\subseteq$ S，于是 R∪ $\subseteq$ S 。

从关系图上来看，就是 R 的自反闭包就是，若没有自环的话，就补充自环。

对称闭包（Symmetric Closure）
设 R 是集合 A 上的一个关系，则 R 的对称闭包是 R∪ $R^{-1}$ 。

R $\subseteq$ R∪ $R^{-1}$
$(R\cup R^{-1})^{-1}$ = $(R)^{-1}\cup (R^{-1})^{-1}$ = $R^{-1}$ ∪R = R∪ $R^{-1}$ 。
若 S 具有对称性，且 R $\subseteq$ S，则由 S 是对称的，有 S = $S^{-1}$ 。
由 R $\subseteq$ S，得到 $R^{-1}$ $\subseteq$ $S^{-1}$ 。
因此 R∪ $R^{-1}$ $\subseteq$ S∪ $S^{-1}$ = S。

从关系图上来看，就是 R 的对称闭包就是，将所有相异的顶点单向的边补充成双向的。或者直接将有向图改为无向图。

传递闭包（Transitive Closure）
定理：设 R 为集合 A 上的任意二元关系，则 $R^ \infty$ 是 R 的传递闭包。
证明：
① R $\subseteq$ $R^ \infty$
② $R^ \infty$ 具有传递性
若 a $R^ \infty$ b 且 b $R^ \infty$ c ，则存在 R 中从 a 到 b 的道路 $\pi_1$ 和从 b 到 c 的道路 $\pi_2$ ，
于是 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 的复合即是为从 a 到 c 的道路，
因此有 a $R^ \infty$ c ， $R^ \infty$ 具有传递性。

③ $R^ \infty$ 是“最小的”
对于A 上任一满足 R $\subseteq$ S 的传递关系S，由其满足传递性知对于所有 n ≥ 1，
$\subseteq$ S，于是
$R^ \infty$ = $R\cup R^2\cup R^3\cup{...} \subseteq S\cup S^2\cup S^3\cup ... \subseteq S$ 。

使用关系矩阵计算关系的闭包
假设 |A| = n
自反闭包 : $M_{r(R)} = M_R\vee I_n$
对称闭包: $M_{r(R)} = M_R\vee (M_R)^T$
传递闭包: $M_{R^\infty } = M_R \vee M_{R^2}\vee M_{R^3} \vee... \vee M_{R^n}$

关系的闭包运算在关系图的表现

自反闭包：每个顶点如果没有自环则增加自环
对称闭包：如果有顶点i到顶点j的有向边且 i  j ，则添加（如果该图中不存在）有向边 ( j, i ) 或者保留该关系的有向图中的顶点，且将所有有向边改作无向边
传递闭包：不断更新有向图：如果存在顶点 i 到 j 的道路，则将边 ( i, j ) 添加到有向图中（如果该图中不存在），直至没有新的有向边可添加为止

关系闭包运算的性质 Closure

定理1
假设 R 是集合 A 上的关系，则

R 是自反的当且仅当 r(R) = R
R 是对称的当且仅当 s(R) = R
R 是传递的当且仅当 t(R) = R

证明： (c) R是传递的当且仅当 t(R) = R
(1) 假设 R 是传递的，则：R 是传递的，R $\subseteq$ R，对于任何包含 R 的传递关系 S 都有 R $\subseteq$ S
(2) 假设 t(R) = R，则 R 是某个关系的传递闭包，其必然是传递的

定理2
假设 R, S 是集合 A 上的关系且 R $\subseteq$ S，则
(a) r(R) $\subseteq$ r(S)
(b) s(R) $\subseteq$ s(S)
(c) t(R) $\subseteq$ t(S)
证明： (a)
由于 r(S) 满足自反性，而且 R $\subseteq$ S $\subseteq$ r(S) ，因此由自反闭包的最小性有 r(R) $\subseteq$ r(S) 。

定理3
假设 R 是集合 A 上的关系，则
(a) 如果 R 是自反的，那么 s(R) 和 t(R) 都是自反的
(b) 如果 R 是对称的，那么 r(R) 和 t(R) 都是对称的
(c) 如果 R 是传递的，那么 r(R) 是传递的。(注意：此处不包含 s(R)）
证明： (b)的一部分
R = $R^{-1}$ ；于是 $(r(R))^{-1}=(R\cup I_A)^{-1}=R^{-1}\cup (I_A)^{-1} =R \cup I_A= r(R)$ ；
r(R) 是对称的。

定理4
设 R 是集合 A 上任一二元关系，则
(a) r(s(R)) = s(r(R))
(b) r(t(R)) = t(r(R))
(c) t(s(R)) $\supseteq$ s(t(R))
证明： (c)
由闭包的定义有 R $\subseteq$ s(R)，因此可得 t(R) $\subseteq$ t(s(R))
由于 s(R) 具有对称性， t(s(R)) 也具有对称性
因为 s(t(R)) 是 t(R) 的对称闭包，由最小性即有 s(t(R)) $\subseteq$ t(s(R))

此外，求关系的传递闭包，可以使用沃舍尔算法，warshall 算法。扩展问题是过河问题。关于这两个算法，单独陈述。

离散数学之集合论【中】

离散数学之集合论【中】

一、有序组

二、关系

實數系統的構造與發展歷程

離散結構：圖論與樹

離散結構：圖論進階

基於信息流的安全格模型

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