Codeforces Round #614 (Div. 2) E. Xenon's Attack on the Gangs(DP記憶化搜索+思維)

題目鏈接：https://codeforces.com/contest/1293/problem/E

 

題目大意：

  給出一棵樹，要求給樹的每條邊賦權值，使得樹中所有點的$mex(x,y)$和最大，並輸出這個和
  $mex(x,y)$指的是從x到y的路徑中，沒出現過的整數的最小值

 

題目思路：

  推薦qsc的題解視頻：傳送門
  很容易發現，在這個條件下，一定要有人做出犧牲，也就是隻有一條鏈上能夠從小到大接連着，還可以發現的是，只要有一條邊選擇了0，那麼這條邊兩頭的點滿足$mex(x,y)\ge1$，因爲他們中最小的整數爲0，也就是對於這樣的一條連着的整數鏈來說，比如0,1,2，這樣的鏈兩邊的點形成的鏈值至少爲3，這也就是這道題的精髓。
  可以發現，這題n只有3000，所以支持n^2，那麼就很美滋滋，剛纔發現，從小到大接着的鏈非常重要，所以直接$n^2$枚舉這條鏈。首先需要一個預處理，$fa[root][u]$表示以root爲根，u的父親是誰，$num[root][u]$表示以root爲根，以u爲頂點的子樹有多少點。然後使用$dp[x][y]$來表示x，y爲鏈的情況下的最大值是多少。如何dp呢？假設求1-2-3-4這樣的鏈的結果，那麼假如我們已經知道了它的子結果，1-2-3和2-3-4的結果，我們要從這個結果推出1-2-3-4結果，那麼根據我們的分析，從1-2-3和2-3-4變成1-2-3-4都是加上1-2-3-4這條鏈兩頭點的乘積(就是這棵樹中有多少條鏈能夠覆蓋這條鏈，他們都能得到這個加成)，既然加的數值一樣，那麼肯定選他們兩個中大的那個啦。數量的話很簡單，對於x-…-y這條鏈來說，x那邊的點的個數就是以y爲根，x爲子樹頂點的子樹的點數量，另一邊就正好相反，就是剛纔說的$num[root][u]$可以得到，而1-2-3和2-3-4的獲得，就可以用$fa[root][u]$，同樣對於x-…-y這條鏈來說，$fa[x][y]$就是x-…-y這條鏈中，與y直接相連的那個點。
  感覺這題非常巧妙，有很多可以學習的點，是一個好題。感覺講的已經比較清楚，代碼也比較剪短可以結合代碼學習。如果還有有問題的地方歡迎評論區提出一起討論~

 

以下是代碼：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define ll long long
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define inf 0x3f3f3f3f
const int MAXN = 3e3+5;
vector<int>v[MAXN];
ll fa[MAXN][MAXN],num[MAXN][MAXN],dp[MAXN][MAXN],root;
void dfs(int u,int f){
    num[root][u]=1;
    int len=v[u].size();
    rep(i,0,len-1){
        int y=v[u][i];
        if(y==f)continue;
        fa[root][y]=u;
        dfs(y,u);
        num[root][u]+=num[root][y];
    }
}
ll solve(int x,int y){
    if(x==y)return 0;
    if(dp[x][y])return dp[x][y];
    return dp[x][y]=num[x][y]*num[y][x]+max(solve(x,fa[x][y]),solve(y,fa[y][x]));
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int n,x,y;
    while(cin>>n){
        rep(i,1,n)v[i].clear();
        memset(fa,0,sizeof(fa));
        memset(num,0,sizeof(num));
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        rep(i,1,n-1){
            cin>>x>>y;
            v[x].push_back(y);
            v[y].push_back(x);
        }
        rep(i,1,n){
            root=i;
            dfs(i,-1);
        }
        ll ans=0;
        rep(i,1,n){
            rep(j,i+1,n){
                ans=max(ans,solve(i,j));
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}