Codeforces Round #597 (Div. 2) E Hyakugoku and Ladders(概率DP)

題目鏈接：https://codeforces.com/contest/1245/problem/E

 

題目大意：

  一個10*10矩陣，左下角起點，左上角終點，按照S型前進，每次通過扔骰子確定行走步數，1~6概率相同，到最後只剩1~6的時候只能正好扔到所需點數才能到達。同時如果遇到梯子的話可以沿着梯子爬上去，問到達終點的期望步數。

 

題目思路：

  設1爲終點，100爲起點，$id[x][y]$表示$(x,y)$座標的編號。$a[x]$表示x編號可以靠它那個位置的梯子到達哪個位置。
  這題相較於普通的概率DP有兩點不同，一個是最後六步必須正好到，一個是可以坐梯子。首先可以發現，在終點肯定不用動就在終點，所以dp[1]=0,終點的期望是確定的，所以需要從終點向起點倒推。同時最後六步需要計算。這六步到達終點的期望步數，要麼是$\frac{1}{6}$的概率直接到終點，要麼是$\frac{5}{6}$概率原地踏步，所以得到公式：
$f(x)=\frac{5}{6}*(f(x)+1)+\frac{1}{6}*(f(1)+1)$
  由於$f(1)=0$，代入整理得到:
$f(x)=6$
  所以最後六步期望就是固定的6。然後就是dp轉移，枚舉1~6作爲走的步數，設爲j，假設他當前在第i個點，那麼他可能是i-j來的，當然也可能是i-j能爬上去的那個梯子的位置過來的(這裏要注意，咱是倒推！)所以取個min繼續推導即可。

 

以下是代碼：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define ll long long
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
const int MAXN=1e2+5;
const int MOD=1e9+7;
int id[MAXN][MAXN],a[MAXN];
double dp[MAXN];
int main()
{
    rep(i,1,10){
        rep(j,1,10){
            if(i&1)id[i][j]=(i-1)*10+j;
            else id[i][j]=i*10-j+1;
        }
    }
    rep(i,1,10){
        rep(j,1,10){
            int x;
            cin>>x;
            a[id[i][j]]=id[i-x][j];
        }
    }

    dp[1]=0;
    rep(i,2,7)dp[i]=6;
    rep(i,8,100){
        dp[i]=0;
        rep(j,1,6){
            dp[i]+=min(dp[i-j],dp[a[i-j]])+1;
        }
        dp[i]=dp[i]/6.0;
    }
    cout<<fixed<<setprecision(10)<<dp[100]<<endl;
    return 0;
}