演繹邏輯研究的一個基本分支就是命題邏輯,命題邏輯以命題爲最小單位。它主要是研究複合命題中的真值函項複合命題,怎樣由簡單命題推導出真值函項複合命題。
一,基本概念
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符號邏輯 就是把日常語言中的邏輯符號化,然後進行研究。
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命題邏輯 是符號邏輯的基本內容,另一個是謂詞邏輯。
- 命題邏輯的最小單位是命題
- 謂詞邏輯的最小單位是詞項
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簡單命題 是不包含其他命題的命題。
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複合命題 是包含其他命題的命題。命題邏輯的研究對象主要是複合命題。
複合命題包含兩個基本成份:-
支命題
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聯結詞
命題舉例:
“如果天上下雨,那麼地上潮溼”
“天上下雨”是一個支命題,是簡單命題,再分割就是詞項了。
“地上潮溼”也是一個支命題,是簡單命題,再分割就是詞項。
“如果…,那麼…"是聯結詞
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真值函項複合命題 該複合命題的結果真值唯一地取決於其支命題的真值。
也就是說由其支命題的真值唯一地推導出複合命題的真值。
推導方法有真值表方法(包括短真值表方法)和自然演繹方法。 -
真值函項連接詞 構成真值函項複合命題的聯結詞
命題舉例[命題例1]
”老王喫飯並且喝茶“[命題例1]是一個複合命題,而且是一個真值函項複合命題,連接詞是”並且“
[命題例2]
”老王喫飯在喝茶之後“[命題例2]是一個複合命題,聯結詞是”在…之後“,但這不是一個真值函項複合命題,
因爲支命題不能唯一確定複合命題。所以它的聯接詞”在…之後“不是真值函項聯接
詞。[命題例3]
”老王懷疑劉某是個罪犯“[命題例3]雖然是一個複合命題,但是它的真值得不出,不知真假。所以它不是真值項複合命題。聯結詞”…懷疑…“不是真值函項聯結詞。
可見在日常語言中,大部分的聯結詞都不是真值函項聯結詞。只有一小部分聯結詞是真值函項聯結詞。
二,邏輯學裏所研究的真值函項聯結詞只有五個,表示最基本的5種邏輯關係
∧ ∨ ¬ → ↔
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1.合取
聯結詞是 ”並且“,”與“,“;”,“,” 表示同時發生。
值得注意的是分號”;“ 與逗號 ”,“ 也代表“與”的關係,表示同時發生。 -
2.析取
聯結詞是“或”,“或者”。它的支命題是析取支。 -
3.否定 ¬
聯結詞“並非”命題舉例:
所有基本粒子都是可分的否定命題:
並非所有基本粒子都是可分的否定命題也是複合命題,只不過其支命題只有一個
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4.蘊含 →
聯結詞是“如果…,那麼…”命題舉例:
如果物體被加熱,那麼物體體積膨脹P→ Q
P代表的支命題叫做前件,Q代表的支命題叫做後件值得注意的是它的真值表,只有前件真後件假,結果纔是假。其餘的結果都算真。
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5.等值詞和等值命題 ↔
聯結詞是“當且僅當”。命題舉例:
一個人是中國公民,當且僅當,他具有中國國籍P↔ Q
P代表的支命題叫做左支,Q代表的支命題叫做右支 -
五種邏輯關係真值表
P | Q | P∧ Q | P∨ Q | ¬P | P→ Q | P ↔ Q |
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1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
參考資料
《自然演繹邏輯導論》 陳曉平