邏輯學學習.5--- 命題邏輯（三）：真值表

一個符號化了的真值函項複合命題無論多麼複雜，不外乎就是有五個基本的真值函項聯結詞聯結而成，由五個基本的真值特徵表，我們可以構造任何複雜的真值函項複合命題的真值表。

一個推論的有效性，等於它是一個重言蘊含式。

∧∨¬→ ↔

一，重言式，重言蘊含式

• 命題舉例1 ：重言式
  （P∧Q→R）↔（P→（Q→R））

P	Q	R	（P	∧	Q	→	R）	↔	（P	→	（Q	→	R））
1	1	1		1		1		1		1		1
1	1	0		1		0		1		0		1
1	0	1		0		1		1		1		0
1	0	0		0		1		1		1		1
0	1	1		0		1		1		1		1
0	1	0		0		1		1		1		1
0	0	1		0		1		1		1		0
0	0	0		0		1		1		1		1

可見，主聯結詞↔總是真，這種總是真的命題叫做邏輯真理。

邏輯真理：一個命題是重言式，當且僅當，該命題在所有真值指派下都是真的。
學邏輯學，掌握邏輯真理很重要，掌握邏輯真理越多，說話出錯的可能性越小。
實踐是檢驗真理的標準，對邏輯來說不成立。邏輯不需要實踐的檢驗，推論正確就永遠正確。

• 命題舉例2 ：重言蘊含式
  A↔B
  A→B
  （A↔B） → （A→B）

A	B	A↔B	A→B	(A↔B) → (A→B)
1	1	1	1	1
1	0	0	0	1
0	1	0	1	1
0	0	1	1	1

蘊含”→“的真值表，只有在前件真而後件假的時候才爲假。
(A↔B) → (A→B) 沒有出現前件真而後件假的情況，所以主聯結詞"→"的真值指派全部爲真。這叫重言蘊含。
(A↔B) → (A→B) 的真值表也說明了等值關係“↔”也包含蘊含”→“關係

重言蘊含：P重言蘊含Q，當且僅當，在任何真值指派下，並非P真而Q假。
重言蘊含等於說，不會出現前件真而後件假的情況。
重言蘊含等於說，主聯結詞 ”→“ 最後的真值結果爲重言式。

一個推論的最後（主聯結詞）就是一個蘊含式，所以一個有效的推論，就是一個重言蘊含式。
一個推論是有效的，當且僅當，在任何真值指派下，當前題爲真時，結論一定爲真。
一個推論是有效的，等於它是一個重言蘊含式。
一個重言蘊含式等於一個有效的推論。
證明一個推論的有效性，就等於證明它是一個重言蘊含式。

二，推論的一般模式

• 模式1：

  因爲，所以

$\left.\begin{matrix} & P1\\ & P2\\ & ...\\ & Pn\\ & ∴C \end{matrix}\right\}$

• 模式2：

  如果，那麼

  $P1∧ P2∧ ....∧Pn → C$

$P1,P2....Pn$ 爲前提，C爲結論。
一個推論是有效的，當且僅當，在任何真值指派下，它都不會出現前提真而結論假的情況。
也就是說，它相應的模式2是一個重言蘊含式。
一個有效的推論，聯結詞爲”因爲，所以“，則它是一個重言蘊含。

三，短真值表方法

只針對模式2（模式1）的推論，即主聯結詞是最後的一個聯結詞，爲蘊含關係式 ”→"。
在蘊含關係式 ”→"中，只有前提真而結論假時，結論才爲假。(參見 邏輯學學習.3— 符號化與真值表（一） ) 找出結論爲假的那一行，看它是否成立，是否推出邏輯矛盾，如果推出邏輯矛盾，則“假”的結論不成立。就剩下全部都是”真“，那麼它就是一個重言蘊含式。

命題舉例

p→q
¬q
∴¬p

寫成模式2
（p→q）∧¬q →¬p

假設前提真而結論假，看看是否成立：
前提的主聯結詞是∧,要求前提的主聯結詞∧爲真，結論假，則要求結論¬p是假。
主聯結詞∧爲真，要求左右兩邊都是真。則右邊¬q爲真，左邊的（p→q），主聯結詞→爲真。既然¬q爲真，那麼q爲假，既然蘊含式爲真，後件爲假，那麼前件也必須是假。(參見 邏輯學學習.3— 符號化與真值表（一） 最後的真值表，蘊含“→”列)。
於是出現矛盾，結論中¬p爲假，推出前提要求p爲假，矛盾。於是這種情況不可能存在。
所以推論的最後蘊含式“→”不存在爲假的情況，證明它是一個重言蘊含式。

假設前提真而結論假，看是否成立

（p	→	q）	∧	¬q	→	¬p
			1		0	0
0/矛盾	1	0	1	1	0	0

結果推出矛盾，p在結論要求是真，在前提推出假。

參考資料

《自然演繹邏輯導論》 陳曉平

邏輯學學習.3— 符號化與真值表（一）