邏輯學學習.6--- 命題邏輯（四）：推演的簡單規則

前面開頭就說過，邏輯學是一門以推論爲主要研究對象的學科。一個推論的有效性取決於它的推論形式，而不取決於它的具體內容。 如何確定一個推論或推論形式是否有效是演繹邏輯所要研究的核心問題。

前面講了真值表方法，在命題邏輯中，判斷命題推論的有效性的方法，其中之一是真值表方法，除了真值表方法外，還有一種很常用的方法就是演繹。

推演方法的實質就是將一個複雜推論分解爲若干簡單推論。由於這些簡單推論的有效性很明顯，那麼，那個複雜推論的有效性也就被確立了起來。如果我們把某些簡單推論作爲推演規則，那麼我們就可以根據這些規則，從給定的前提一步一步地推出所需要的結論。這種方法稱之爲“自然演繹”或者“自然推論”。

”自然演繹系統“就是以一組推演規則爲基礎的。至於把哪些簡單推論作爲推演規則，不同的自然演繹系統有不同的選擇。

這裏介紹的有“八條整推規則”，“十條置換規則”，以及“條件證明方法”，“間接證明方法”。

值得注意的是，無論是“自然演繹“方法還是”真值表“方法，它們的目的是一樣的，都是爲了檢驗一個命題推論的有效性。而且，在證明命題推論的有效性上，自然演繹方法和真值表方法的結果是一致的。

一， 八條整推規則

• 1.肯定前件
  P→Q
  P
  ∴Q

• 2.否定後件
  P→Q
  ¬Q
  ∴¬P

• 3.否定析取支
  P∨Q
  ¬P
  ∴Q
  和
  P∨Q
  ¬Q
  ∴P

• 4.合取
  P
  Q
  ∴P∧Q

• 5.化簡
  P∧Q
  ∴P
  和
  P∧Q
  ∴Q

• 6.附加
  P
  ∴ P∨Q
  和
  Q
  ∴ P∨Q

• 7.假言三段論
  P→Q
  Q→R
  ∴P→R

• 8.二難推論
  P→Q
  R→S
  P∨R
  ∴ Q∨S

二， 十條置換規則

• 1.交換
  P∨Q→Q∨P
  P∧Q→Q∧P

• 2.雙否
  P↔¬¬P

• 3.德摩根律
  ¬(P∨Q)↔¬P∧¬Q
  ¬(P∧Q)↔¬P∨¬Q
  例
  P：明天颳風
  Q：明天下雨

• 4.假言易位
  (P→Q)↔(¬Q→¬P)

  例：
  P：一個數大於5
  Q：它大於3
  如果一個數大於5，那麼它大於3
  如果一個數不大於3，那麼它不大於5

• 5.蘊含
  (P→Q)↔(¬P∨Q)
  例：
  P：你離開我
  Q：我就死
  如果你離開我，那麼我就死
  要麼你別離開我，要麼我死

• 6.重言
  P↔P∨P
  P↔P∧P

• 7.結合
  P∨(Q∨R) ↔ (P∨Q)∨R
  P∧(Q∧R) ↔ (P∧Q)∧R

• 8.分配
  P∨(Q∧R) ↔ (P∨Q)∧(P∨R)
  P∧(Q∨R) ↔ (P∧Q)∨(P∧R)

• 9.移出
  (P∧Q→R) ↔ (P→(Q→R))
  例：
  P：明天颳風
  Q：明天下雨
  R：明天降溫
  “如果明天颳風並且下雨，那麼明天降溫”
  ↔ "如果明天颳風，那麼如果明天下雨，那麼明天降溫

• 10.等值
  (P↔Q)↔(P→Q) ∧ (Q→P)

三， 條件證明

對於那些結論爲蘊含式的推論，可以用條件證明規則。
把結論P→Q的前件 P 作爲假設，假設前件成立 ，將前件和前提條件共同作爲已知條件，推出結論。

Pr 　　　　　　　　前提
$\left\{\begin{matrix} P & \\ .. & \\ .. & \\Q \end{matrix}\right.$
∴ P→Q 結論

四， 間接證明

條件證明是用來證明那些結論是蘊含式的推論。那麼對於結論非蘊含式的推論，不能使用條件證明，這種情況要使用間接證明。
間接證明其實就是反正法，假設結論不成立，然後推出矛盾。反證結論成立。

Pr 　　　　　　　　前提
$\left\{\begin{matrix} ¬P & \\ .. & \\ .. & \\Q ∧ ¬Q \end{matrix}\right.$
∴ P 　　　　 既然從¬P推出矛盾，反證結論命題P 成立

參考資料

《自然演繹邏輯導論》 陳曉平