做信號處理或者頻譜分析時, 總是遇到負頻率的概念. 當年學這個理論, 在Fourier變換時作爲一個函數的偶對稱自然引入了, 雖然覺得奇怪但也沒人追究, 記住那些方程變換等還來不及呢, 管它負頻率什麼意義了. 若干年之後用這一工具來解決一個 實際問題時, 不免對這個負頻率的來歷想追究一下. 它的物理意義是什麼,爲什麼要引入這個概念.
本人翻閱了Morris Kline 的古今數學思想,還有一日本教育基金用漫畫形式寫的Who Is Fourier, 以及感覺最有幫助的Richard Lyons的understanding Digital Signal Processing. 終於對這個負頻率的來歷有了一個較爲清晰的輪廓.原來在諸多專業和業餘數學家們, 尤其歐拉沒進來攪和之前, 一個通常的實際信號是可以沒有負頻率的,如下圖1所示. 一個實信號只用一個實頻域的頻點表示即可 (當然還得另外表示相位,這也是後來引入複頻域的好處). 即使用Fourier變換, 也可以把一個實信號表示成只具有實數的Sine/Cos級數或者積分變換. 這樣一切頻譜分量都是正的, 即級數n或積分區間取正.
上邊的表述是顯而易見的, 但有兩個不方便的地方 1) 無法將幅度和相位統一表述 2) 做Cos或者Sin的運算會非常繁雜.
偉大的歐拉建立起了復指數與Sin,Cos的對因關係 exp (jwt)= coswt + jsin(wt). 高斯和之前的一些業餘數學物理學 家對複數理論 也有很大貢獻. 複數的引入使得相位和幅度被統一到一個表達上,並且數學運算也方便多了. 但代價是得引入負頻率這個怪異的 東西.
圖2是一個復指數信號的時域與複頻域的表示方法.一個複平面上隨時間旋轉的點就是一個週期復指數信號的軌跡. 引入j 代表”垂直”分量 (最好別叫它虛數,而是稱爲一個旋轉算子), 一個巧妙的解釋就是當一個數乘以j後, 就代表其向量在複平面逆時 針旋轉90度. 同理乘以-j就是順時針旋轉90度 (-j=jjj, 相當於逆時針旋轉三次). 1是實軸上一個數,乘以j旋轉90度就變到j軸成爲1j, 再乘以j再旋轉90度就變成 -1. 所以在實軸上的sin(wt)乘以j後就變到j軸了. 這個解釋是18世紀一個瑞士自學成才的記錄員Argand 提出的.
覆信號在時域中表示: 水平軸是一個cos分量, 垂直軸是個sin分量. 在複頻域中表示, 逆時針旋轉的是一個正頻率分量. 順時針旋轉的是一個負頻率分量. 這是負頻率的根本來源.
週期複數信號也可以找到實際信號的對應. 比如經常舉的一個示波器的例子. 信號通道(水平軸)接Cos信號. 觸發通道 (垂直軸 ) 接一個同相sin信號,也就是構造出圖2的各個分量,那麼在屏幕上顯示的就是逆時針旋轉的一個點.
用複平面來表示一個實數信號, 通過歐拉公式變換一下是可能的, 參見圖3所示. 但這樣一來一個簡單的cos 就要表示成兩個復指 數的信號了, 一個是復時域逆時針旋轉的具有正頻率, 一個是復時域順時針旋轉的具有負頻率. 從圖2也很容易看出, 這兩個覆信 號在 j 軸的分量方向相反, 相加後抵消, 只剩下實軸的cos分量.
圖3的左圖是cos信號在複頻域上的表示. 對於sin信號在複頻域的表示要稍微做點變換,也就是j算子的旋轉功能: 負頻率分量乘以j逆時針旋轉一次. 正頻率分量乘以-j: 先逆時針旋轉90度,再逆時針旋轉90+90度 (-1 = j * j). 或者視爲 –j = j* jj, 逆時針旋轉三個90度. 所以負頻率的表示,完全是由於引入了複數的原因. 有道是: 菩提本無樹, 明鏡亦非臺J.
單一頻率的時域信號比如cos和sin在複頻域表現爲正負對稱的兩個複數頻率. 單一頻率的覆信號在複頻域是單一頻率,但在時域需要兩個正交分量表示.
一般教科書論述負頻率引入是在做積分變換時, 利用函數的對稱性, 把(0, +無限) 對exp(-jwt)運算, 改爲 (-無限, 0) 對exp(jwt) 的運算 , 然後就出來負頻率了. 竊以爲這很不負責然. 歐拉和之前Argand引入的旋轉算法, 也就是richard在其書中所描述的負頻率使用的方法, 是具有物理意義的理想表述.
本人認爲頻譜的實際物理意義, 應該是被分析信號與每個可能頻率的相關程度的衡量 . Fourier變換可以認爲是信號對每個週期波形求其全時域的相關性. 如果是一個1KHz的餘弦實信號, 它跟以1KHz震盪的cos(2pi1000t)信號相關度爲1(不考慮相位的話), 跟其它頻率的相關度是0,所以這個信號的頻譜就是1KHz. 一個複雜的信號,跟每個頻點的cos信號都有一點相關, 所以頻譜就是一個頻域0到無限的連續曲線. 記得光波導理論,用來分析光”波形”的變換是空間變換, 就是把光波形相關到每個空間基本單元,然後研究其”空間譜”的分佈. 所有的這種變換,都是爲了變換到一個域, 其運算比時域更簡單,也更容易衡量其特性.
爲什麼任何信號都能表示爲Sin和Cos函數的組合呢? 當然電信號的表述來自於電磁波的Maxwell方程. 其解就是波動的. 但如果YY一下, 感覺量子力學的波動性纔是根源. 任何物理存在都是薛定諤方程的解. 所以電信號本質是是波動的組合,應該能表示成若干基本波動的組合.
順帶轉述一下, 古今數學思想中介紹Fourier積分起源於尋求偏微分方程的封閉解. Klein說Fourier積分的發明權現在無法定論. 因爲Fourier(傅立葉), Cauchy(柯西), Poisson(泊松) 三人都向巴黎科學院宣讀了之後才發表的論文, 這裏都涉及了Fourier積分, 而每個人都聽過別人的論文. 但最早Laplace所做的奠基性工作則無異議.