章節一：時域上的OFDM
OFDM的"O"代表着"正交"，那麼就先說說正交吧。
首先說說最簡單的情況，sin(t)和sin(2t)是正交的【證明：sin(t)·sin(2t)在區間[0,2π]上的積分爲0】，而正弦函數又是波的最直觀描述，因此我們就以此作爲介入點。既然本文說的是圖示，那麼我們就用圖形的方式來先理解一下正交性。【你如果能從向量空間的角度，高屋建瓴的看待這個問題的話，你也就不是"小白"了，R U?】
在下面的圖示中，在[0,2π]的時長內，採用最易懂的幅度調製方式傳送信號：sin(t)傳送信號a，因此發送a·sin(t)，sin(2t)傳送信號b，因此發送b·sin(2t)。其中，sin(t)和sin(2t)的用處是用來承載信號，是收發端預先規定好的信息，在本文中一律稱爲子載波；調製在子載波上的幅度信號a和b，纔是需要發送的信息。因此在信道中傳送的信號爲a·sin(t)+b·sin(2t)。在接收端，分別對接收到的信號作關於sin(t)和sin(2t)的積分檢測，就可以得到a和b了。（以下圖形採用google繪製）
到了這裏，也許你會出現兩種狀態：
一種是：啊，原來是這樣，我懂了。
一種是：啊，怎麼會這樣，我完全無法想象。這裏要說的是，你根本用不着去想象（visualize）。數學中是如此定義正交的，數學證明了它們的正交性，那麼他們就是正交的，【他們就可以互不干擾的承載各自的信息】。選取sin(t)和sin(2t)作爲例子，正是因爲它們是介於直觀和抽象的過渡地帶，趟過去吧。
上面的圖示雖然簡單，但是卻是所有複雜的基礎。
1.1 下一步，將sin(t)和sin(2t)擴展到更多的子載波序列{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),…,sin(2π·Δf·kt)} (例如k=16，256，1024等)，應該是很好理解的事情。其中，2π是常量；Δf是事先選好的載頻間隔，也是常量。1t,2t,3t,…,kt保證了正弦波序列的正交性。
1.2 再下一步，將cos(t)也引入。容易證明，cos(t)與sin(t)是正交的，也與整個sin(kt)的正交族相正交。同樣，cos(kt)也與整個sin(kt)的正交族相正交。因此發射序列擴展到{sin(2π·Δf·t),sin(2π·Δf·2t),sin(2π·Δf·3t),…,sin(2π·Δf·kt),cos(2π·Δf·t),cos(2π·Δf·2t),cos(2π·Δf·3t),…,cos(2π·Δf·kt)}也就順理成章了。
1.3 經過前兩步的擴充，選好了2組正交序列sin(kt)和cos(kt)，這只是傳輸的"介質"。真正要傳輸的信息還需要調製在這些載波上，即sin(t),sin(2t),…,sin(kt)分別幅度調製a1,a2,…,ak信號,cos(t),cos(2t),…,cos(kt)分別幅度調製b1,b2,…,bk信號。這2n組互相正交的信號同時發送出去，在空間上會疊加出怎樣的波形呢？做簡單的加法如下：
f(t) = a1·sin(2π·Δf·t) +
a2·sin(2π·Δf·2t) +
a3·sin(2π·Δf·3t) +
…
ak·sin(2π·Δf·kt) +
b1·cos(2π·Δf·t) +
b2·cos(2π·Δf·2t) +
b3·cos(2π·Δf·3t) +
…
bk·cos(2π·Δf·kt) +
= ∑ak·sin(2π·Δf·kt) + ∑bk·cos(2π·Δf·kt) 【公式1-1：實數的表達】
爲了方便進行數學處理，上式有複數表達形式如下：
f(t) = ∑Fk·e(j·2π·Δf·kt) 【公式1-2：複數的表達，這編輯器找不到上角標…不過，你應該看得懂的】
上面的公式可以這樣看：每個子載波序列都在發送自己的信號，互相交疊在空中，最終在接收端看到的信號就是f(t)。接收端收到雜糅信號f(t)後，再在每個子載波上分別作相乘後積分的操作，就可以取出每個子載波分別承載的信號了。
然後，多看看公式1-1和公式1-2！！！發現咯？這就是傅里葉級數嘛。如果將t離散化，那麼就是離散傅立葉變換。所以纔有OFDM以FFT來實現的故事。將在下面的章節進行更多的描述。
遵循古老的傳統，F表示頻域，f表示時域，所以可以從公式1-2中看出，每個子載波上面調製的幅度，就是頻域信息。類似的說法是：OFDM傳輸的是頻域信號。這種說法有些彆扭，但是很多教程或文章會使用這樣的說明方式，就看讀者如何理解了。如果純粹從公式或者子載波來看，這種說法其實也是很直接的闡述了。
上面1.1-1.3的擴展，可如下圖所示：
1.4 還有這一步嗎？其實是有的。"小白"你可以先想想，想不到的話先往下看，因爲這需要在頻域中考量，所以我寫在後面了。【也可參考[1]】
將上述的時域分析配上LTE的實現，有如下情況：
【注1：本段描述需要有LTE物理層的基本知識，如果看不明白，請暫時跳過，看完整篇文章後再回看】
【注2：LTE並非時域的實現，下面僅僅是套用LTE的參數，做一個參考分析】
子載波的間隔Δf=15kHz，一個OFDM symbol的發送時間是66.7us，可以發現，15kHz*66.67us=1，即基帶上一個OFDM symbol的發送時間正好發送一個一次諧波的完整波形。對於10M的LTE系統，採用的是1024個子載波，但是隻有中間600個（不含最中間的直流）子載波被用於傳送數據。在一個OFDM symbol的時間內（即66.67us)，靠近中間的兩個一次諧波傳輸一個完整波形，再靠外一點的兩個二次諧波傳輸兩個完整波形，以此類推至最外面的兩個300次諧波傳輸了300個完整的波形。在這66.67us內，600個子載波互相正交，其上分別承載了600個複數信號。
上面的說法有點囉嗦，不如圖示來得直觀。本來準備再畫一圖的，不過一來上面已經有了類似的圖，實是大同小異；二來，600個子載波，也太多了點。。。
OK，說到這裏，從時域上面來看OFDM，其實是相當簡潔明快討人喜歡的。不過，一個系統若要從時域上來實現OFDM，難度太大，時延和頻偏都會嚴重破壞子載波的正交性，從而影響系統性能。這點在各種教材文章中都會有提及，我就不贅述了。
下面將轉入頻域來描述OFDM，由於頻域不甚直觀，的確會稍稍讓人費解。不過只要時刻想着時域子載波間的疊加，一切都會好起來。
章節二：頻域上的OFDM
第一章節時域上的討論開始於OFDM中的"O"；本章節頻域上我們從"FDM"開始。
先圖例一個常規FDM的系統圖：
圖11：常規FDM，兩路信號頻譜之間有間隔，互相不干擾
爲了更好的利用系統帶寬，子載波的間距可以儘量靠近些。
圖12：靠得很近的FDM，實際中考慮到硬件實現，解調第一路信號時，已經很難完全去除第二路信號的影響了（電路的實現畢竟不能像剪刀裁紙一樣利落），兩路信號互相之間可能已經產生干擾了
圖13：繼續靠近，間隔頻率互相正交，因此頻譜雖然有重疊，但是仍然是沒有互相干擾的。神奇的OFDM
上面三個圖的確有點小兒科，不知道"小白"是不是已經在心裏吶喊：這誰不知道呀！不過我在這裏花時間畫了三張圖，總還是有所考量的：
a. 作爲上一個章節和本章節之間的補充和連接，說明一下OFDM在頻域上面的表現，亦即OFDM的本源來歷。
b. 引導思考：信號的帶寬是多少？
c. 引導思考：OFDM正交頻譜疊加部分到底有多寬呢？結合1.4，先想想，再往下看，會更好。
再次回到正軌，請回看第一節中的圖一至圖六等時域波形圖，圖示了在時域上，波形的調製，疊加接收，以及最終的解碼。讓我們看看圖一至圖三中的每個步驟在頻域上是如何表現的。
首先來看sin(t)。“小白"呀"小白”，你且說說sin(t)的頻譜是啥呀？"小白"弱弱的說：是一個衝激。是的，sin(t)是個單一的正弦波，代表着單一的頻率，所以其頻譜自然是一個衝激。不過其實圖一中所示的sin(t)並不是真正的sin(t)，而只是限定在[0,2π]之內的一小段。無限長度的信號被限制在一小截時間之內，【就好比從一個完整的人身上逮下一根頭髮，然後把整個人都丟掉，以發代人】其頻譜也不再是一個衝激了。
對限制在[0,2π]內的sin(t)信號，相當於無限長的sin(t)信號乘以一個[0,2π]上的門信號（矩形脈衝），其頻譜爲兩者頻譜的卷積。sin(t)的頻譜爲衝激，門信號的頻譜爲sinc信號（即sin(x)/x信號）。衝激信號卷積sinc信號，相當於對sinc信號的搬移。所以分析到這裏，可以得出圖一的時域波形其對應的頻譜如下：
圖21：限定在[0,2π]內的a·sin(t)信號的頻譜，即以sin(t)爲載波的調製信號的頻譜
sin(2t)的頻譜分析基本相同。需要注意的是，由於正交區間爲[0,2π]，因此sin(2t)在相同的時間內發送了兩個完整波形。相同的門函數保證了兩個函數的頻譜形狀相同，只是頻譜被搬移的位置變了：
圖22：限定在[0,2π]內的b·sin(2t)信號的頻譜，即以sin(2t)爲載波的調製信號的頻譜
將sin(t)和sin(2t)所傳信號的頻譜疊加在一起，如下：
圖23：a·sin(t)+b·sin(2t)信號的頻譜
圖23和圖13，均是頻域上兩個正交子載波的頻譜圖。比一下，發現了嗎？不太一樣！
是的，想必你已經想起來了，這是因爲基帶信號在傳輸前，一般會通過脈衝成型濾波器的結果。比如使用"升餘弦滾降濾波器"後，圖23所示的信號就會被修理成圖13所示的信號了。這樣可以有效的限制帶寬外部的信號，在保證本路信號沒有碼間串擾的情況下，既能最大限度的利用帶寬，又能減少子載波間的各路信號的相互干擾。這也是1.4中沒有提及的，更多的可參考[1]
貼士：脈衝成型濾波器作用於頻域，可以"看作"時域中的每個碼元都是以類似sinc信號發出的。沒必要糾結於發送端碼元的時域波形，只需要知道在接收端通過合適的採樣就可以無失真的恢復信號就OK咯。
這裏用到的是奈奎斯特第一準則，在下面的框框內會稍作描述：
奈奎斯特第一準則請自行google，這裏說說其推論：碼元速率爲1/T(即每個碼元的傳輸時長爲T)，進行無碼間串擾傳輸時，所需的最小帶寬稱爲奈奎斯特帶寬。
對於理想低通信道，奈奎斯特帶寬W = 1/(2T)
對於理想帶通信道，奈奎斯特帶寬W = 1/T
在下面的圖31中，可以看出信號的實際帶寬B是要大於奈奎斯特帶寬W（低通的1/(2T)或者帶通的1/T）的，這就是理想和現實的距離。
補充說明：本文提到的"帶寬"，也即約定俗成的帶寬理解方式，指的是信號頻譜中>=0的部分。在從低通到帶通的搬移過程中，因爲將原信號負頻率部分也移出來了（也可理解爲同乘e(j2πfct) + e(-j2πfct)的結果，見參考[2]）【注：沒有上角標和下角標的編輯器，真不爽。不過，你應該看得懂的】，所以帶寬翻倍了。如下圖所示：
圖31：內涵豐富的圖，請參看上面和下面的說明文字
上面專門用框框列出奈奎斯特第一準則，還有一個重要目的就是說明下頻帶利用率的問題。頻帶利用率是碼元速率1/T和帶寬B(或者W)的比值。
理想情況下，低通信道頻帶利用率爲2Baud/Hz；帶通信道頻帶利用率在傳輸實數信號時爲1Baud/Hz，傳送複數信號時爲2Baud/Hz（負頻率和正頻率都獨立攜帶信號）。由於討論低通信道時往往考慮的是實數信號，而討論帶通信道時通常考慮的是複數信號，因此可以簡單認爲：理想情況下，信道的頻帶利用率爲2Baud/Hz。
實際情況下，因爲實際帶寬B要大於奈奎斯特帶寬W，所以實際FDM系統的頻帶利用率會低於理想情況。
【說到這裏，終於可以圖窮匕見了】而OFDM的子載波間隔最低能達到奈奎斯特帶寬，也就是說（在不考慮最旁邊的兩個子載波情況下），OFDM達到了理想信道的頻帶利用率。
圖32：OFDM正交子載波，載頻間距爲奈奎斯特帶寬，保證了最大的頻帶利用率。
將上述的頻域分析配上LTE的實現，有如下情況：
【注：本段描述需要有LTE物理層的基本知識】
子載波的間隔Δf=15kHz，一個OFDM symbol的發送時間是66.7us。在10MHz信道上，1ms的子幀共傳輸14個OFDM symbol【不是15個，留空給CP了】，每一個OFDM symbol攜帶600個複數信息，因此：
1.從整個系統來看，波特率爲600142/1ms = 16.8MBaud，佔據帶寬10MHz，因此帶寬利用率爲16.8MBaud/10MHz = 1.68Baud/Hz，接近2Baud/Hz的理想情況。【注：一是CP佔用了每個OFDM Symbol約1/15的資源，二是10MHz的頻帶並不是滿打滿算的用於傳輸數據，其邊界頻帶需要留空以減少與鄰近信道的干擾】
2. 單從OFDM一個symbol來看，波特率爲6002/66.7us = 18MBaud，佔據帶寬60015kHz=9MHz【不考慮邊界子載波帶外問題】，因此其帶寬利用率爲18MBaud/9MHz=2Baud/Hz，符合上面的討論。
附：5M帶寬的WCDMA的chip rate = 3.84M/s，即碼率爲3.84M*2 = 7.68MBaud，帶寬5M，所以帶寬利用率爲7.68MBaud/5MHz = 1.536Baud/Hz，略遜於LTE的1.68Baud/Hz【注：WCDMA的脈衝成型採用滾降係數爲0.22的升餘弦濾波器，奈奎斯特帶寬爲3.84M】
章節三：用IFFT實現OFDM
其實前兩章，我已經將自己的理解盡數表達了：第一節是從時域上來說子載波正交的原理；第二節是從頻域上來解釋子載波正交後，達到理想頻帶利用率的特性。想來，雖然前兩章寫得較長【沒預料到會寫這麼長的…太長了沒人看…】，但是應該還是很簡單、清晰、易懂的。
不過"小白"的卡殼，似乎並不在於最基本的正交原理和頻帶利用率上，反而是IFFT變換中，充斥的各種時域頻域角色變換讓其眼花繚亂。
個人覺得要理解IFFT實現OFDM，最好的辦法還是看公式。比如第一章節中的公式1-1和公式1-2，配上時域波形圖的疊加，不要太好理解喲。當然，這裏的IFFT需要將時域離散化，因此公式IFFT ≈ IDFT -->
fn = 1/N·∑Fk·e(j·2π·k·n/N) 【公式3-1，n爲時域離散後的序號，N爲總的IFFT個數，n∈[1,N]】
關於公式3-1的理解方法，可以是這樣的。其中一種理解方式是聯繫第一章節的公式1-2：可以發現公式3-1等號右側所表達的物理意義和公式1-2是相同的，均代表了不同子載波e(j·2π·k·n/N)發送各自的信號Fk，然後在時域上的疊加形成fn，只不過現在疊加出來的時域不是連續波形，而是離散的時序抽樣點。
另一種更容易，更可愛的理解方式是：在一個OFDM symbol的時長T內，用N個子載波各自發送一個信號F(k)（k∈[1,N]），等效於直接在時域上連續發送fn（n∈[1,N]）N個信號，每個信號發送T/N的時長。
在IFFT實現OFDM中，發送端添加了IFFT模塊、接收端添加了FFT模塊。IFFT模塊的功能相當於說：別麻煩發送N個子載波信號了，我直接算出你們在空中會疊加成啥樣子吧；FFT模塊的功能相當於說：別用老式的積分方法來去除其餘的正交子載波了，我幫你一次把N個攜帶信號全算出來吧。就是這樣，IFFT實現OFDM的系統用"數學的方法"，在發送端計算信號的疊加波形，在接收端去除正交子載波，從而大大簡化了系統的複雜度。
圖八：用IFFT實現OFDM。請自行對比圖七
最後說一句：“小白"乃"白富美"之"白”，非"一窮二白"之"白"也。
好吧，該結束了。再寫得長了更沒人看了。
補充章節：從頻譜上來看正交性
本文最開始發表時是沒有這一段的，因爲原文已然十分自恰，已將OFDM的原理說的非常清楚到位了。然而，這一段的內容卻是別的文章中講解OFDM時經常出現的橋段，因此覺得還是有必要補充陳述一下自己的觀點。
【注：本小節爲補充章節，與本文邏輯沒有必然聯繫，可直接略過。】
從正文章節中，可以發現作者的思路：從時域角度講解子載波的正交性；從頻域角度講解OFDM的頻帶利用率。作者覺得這是最容易理解OFDM原理的方式。但是教材中、網絡上，還有一種非常主流的講解方式：從頻域上“直觀的”看待子載波的正交性。比如下面這個圖：
圖51：從OFDM頻譜看待正交性（本圖來自網絡，比我畫的圖好些，還有文字說明）
這種觀點的說法是：在每個子載波的抽樣點上，其它的子載波信號抽樣值均爲0（即上圖中的subcarrier Nulls對應某個子載波的Subcarrier Peak）。這種說法在圖示上有非常醒目的直觀效果，所以是各教材講義中的常客，但是至少從作者的角度來看，這種說法在涉及到後面的解調信號時，將變得非常難以理解和說明。所以本文最開始的版本中是沒打算寫本小節的。
如果你看到這裏，覺得這種說法正中下懷，那麼恭喜你。
如果你看到這裏，覺得這種說法已經讓你的腦袋成了漿糊，那麼可以回顧第一章節：時域上的正交性，然後繼續閱讀下面部分以解毒。
時域上的正交性和頻域上的正交性之間的關係該如何聯繫起來呢？回顧前面提到sin(t)和sin(2t)是正交的【證明：sin(t)·sin(2t)在區間[0,2π]上的積分爲0】，推廣到更一般的情況是：{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),…,sin(2π·Δf·kt)}在區間[0, 1/Δf]上正交（注：教材上一般寫爲u(t)在[-T/2,T/2]區間上怎麼怎麼着，本文就用不着那麼學術了）。可以看出，這裏有一個關鍵的參數Δf：它既是頻域上子載波的間距，又確定了時域上的信號傳輸時間。回顧時域頻域轉換圖：
圖52：同前面的圖21，時域波形和頻域的轉換
聯繫上圖的時頻轉換，可以發現Δf既確定了子載波本身(即上圖中第一排的兩個圖)，又確定了待發信號的傳輸時間(即上圖中第二排的兩個圖中信號的寬度)，從而決定了信號頻譜的主瓣寬度以及旁瓣爲0的位置。這也意味着，OFDM系統中一旦選定了子載波間隔，時域上的正交性以及頻域上的正交性也就順理成章的聯繫起來了。如下圖：
圖53：同前面的圖23，兩路信號的間隔Δf，保證了時域上的正交性、確定了頻域上的旁瓣0點位置
其實對本作者而言，從頻譜上來看待OFDM的正交性有點顛倒因果的嫌疑。按我的理解：OFDM選用的正交子載波是因，頻譜中出現“其餘子載波攜帶信號的旁瓣0點處於當前子載波攜帶信號主瓣峯值處”的現象是果。以果推因，謬矣。