译者：i_dovelemon
日期：2016 / 03 / 06
来源：GameDev,CSDN
主题：Physics Engine, Verlet integration, Collision Detection, Collision Response
介绍
本篇文章将要讲述如何在2D场景中模拟游戏物理。我们将会使用一个名为Verlet积分器进行设计，并且会讲述点运动，形状建立，碰撞检测和碰撞反应。读者应该对基本的向量加减运算有一定的了解。如果对2D欧几里得几何学有很好的掌握就再好不过了。
Verlet积分
首先，什么是Verlet积分？Verlet积分器指的是一种对运动方程进行数值积分的方法。对于本篇文章来说，你不需要知道数值积分实际的含义是什么；一般来说，Verlet积分描述了一个点在一段时间里的运动情况。有很多的方法能够实现这样的功能--我想，你们大多数时候都是使用Euler积分来进行，如下：
如果将上面的两个公式合并成一个公式，也就是将上面的Velocity[New]带入到下面的公式中去就得到如下的公式：
Verlet积分器有很多种不同的类型-- Position Verlet, Velocity Verlet, Leapfog。在这篇文章里面，我们将主要使用Position Verlet积分器，它有很多的优点，我们将在本篇文章中使用到。
关于Position Verlet积分器的公式，和上面的Euler积分器的公式相差不多，如下所示：
从上面，我们可以看到，在Position Verlet中，我们使用(Position[Current] - Position[Old])来代替在Euler积分器中的Velocity[New] * Timestep。也就是说，在Position Verlet积分器中，我们不需要考虑Velocity这个参数。实际上这种方法是不精确的，我们仅仅使用了Position[Current] - Position[Old]来近似的模拟物体运动中的速度。但是，使用这种方法却是非常的快速和稳定的，所以对于游戏来说，这种方法非常的高效。同样，使用这种方法接下来的碰撞反应也能够非常容易处理。我们来考虑下面的情况：
灰色的表示的是Position[Old]，黑色的表示的是Position[Current]。过了一段时间后，这个点就会碰撞到前面的方块。当检测到了碰撞检测之后，我们只要将点移出到方块的外面，碰撞反应就成功的处理了。由于在Position Verlet积分器中，我们使用的是(Position[Current] - Position[Old])来作为点运动的速度，那么当我们改变了Position[Current]或者Position[Old]的时候，点的运动速度也就随之而改变，而这正是我们要在碰撞反应里面要做的内容。如下图所示，这个点会自动的进行减速，并且最终停止运动：
我们将上面讲述的理论编码成如下的程序：
struct Point {
Vec2 Position;
Vec2 OldPosition;
Vec2 Acceleration;
};
class Physics {
int PointCount;
Point* Points[ MAX_VERTICES ];
float Timestep;
public:
void UpdateVerlet();
//Constructors, getters/setters etc. omitted
};
void Physics::UpdateVerlet() {
for( int I = 0; I < PointCount; I++ ) {
Point& P = *Points[ I ];
Vec2 Temp = P.Position;
P.Position += P.Position - P.OldPosition + P.Acceleration*Timestep*Timestep;
P.OldPosition = Temp;
}
}上面的代码，能够对任意数量的点进行处理。但是单独的点并没有什么实际的意义，除非你在编写的是一个粒子系统。而在游戏中，我们常常需要处理的是刚体模拟，所以我们需要将上面的代码扩展称为支持刚体的代码。在现实世界中，我们知道一个刚体实际上是有很多的点（原子）组成的，他们之间通过各种力的作用相互融合在一起。
当然，我们能够通过模拟大量的粒子，让他们以某种方式粘合在一起，以此来近似的模拟刚体的运动。但是，对于这样的系统，我们要进行非常庞大的计算才能够实现，对于一个游戏来说，往往需要大量的刚体，使用这种方式进行模拟完全就不能够接受。幸运的是，我们只要模拟刚体的几个顶点就能够实现类似的效果。比如说，如果我们要模拟一个盒子，那么我们只需要4个顶点，并且以某种方式粘合他们，然后就成功的模拟出来了。
那么，现在的问题就是这种将顶点粘合在一起的东西是什么了？还是考虑前面的盒子，我们已经有了四个顶点，那么很显然，这四个顶点之间的距离如果不发生改变，那么这个刚体就形成了。如果任意两个顶点之间的距离发生了改变，我们就认为这个刚体发生了形变，而对于刚体来说这是不可接受的。所以，我们需要找到一个方案，它能够使各个顶点之间距离保持不变。
在现实世界中，这样的问题很容易处理，我们只要在这四个顶点之间放置一些杆子，就能够保证他们之间的距离不发生改变。所以，在我们的程序中，我们也需要创建一些想象中的杆子，来将这四个顶点相互粘合。我们需要保持每两个顶点之间的距离不发生任何的变化。在每一次的游戏循环中，我们都需要在进行Position Verlet积分之前，更新这些杆子，从而保证每一个顶点之间的距离没有发生变化。实际上，这种更新算法非常的简单。首先，我们要记录下这些顶点在创建的时候与其他顶点之间的距离。在每一帧的运算里面，我们计算当前帧里面，这些顶点之间的距离。然后使用以前记录的距离和当前的距离进行比较，强制的将当前的距离变换称为当初创建时的距离即可。
struct Edge {
Vertex* V1;
Vertex* V2;
float OriginalLength; //The length of the edge when it was created
//Constructors etc. omitted
};
void Physics::UpdateEdges() {
for( int I = 0; I < EdgeCount; I++ ) {
Edge& E = *Edges[ I ];
//Calculate the vector mentioned above
Vec2 V1V2 = E.V2->Position - E.V1->Position;
//Calculate the current distance
float V1V2Length = V1V2.Length();
//Calculate the difference from the original length
float Diff = V1V2Length - E.OriginalLength;
V1V2.Normalize();
//Push both vertices apart by half of the difference respectively
//so the distance between them equals the original length
E.V1->Position += V1V2*Diff*0.5f;
E.V2->Position -= V1V2*Diff*0.5f;
}
}当我们使用上面代码中创建的Edge结构来链接任意两个顶点，我们就能够很好的模拟刚体的行为，并且能够在碰撞到地面的时候有很好的旋转效果出现。那么，为什么这样就能够实现效果了？我们没有做什么特别的事情，只是添加了任意两个顶点之间的约束关系，然后我们就成功的模拟出刚体的效果来了。而造成这个结果的原因就是我们前面所讲述的Position Verlet积分器的功能。还记得我们在前面讨论中说到，Position Verlet积分器不直接和Velocity打交道，如果我们改变了顶点的位置，相应的就会改变顶点的速度。而这样的情况，刚好符合我们对刚体操作的理解，虽然和真实的情况还有点差距，但是对游戏来说，已经足够使用了。
老实说，我前面和大家撒了个谎。如果你只是当当执行上面的代码的话，那么实际得到的结果并不是你所期待的那样。实际上，当一个刚体碰撞到其他的物体的时候，使用上面的方案来进行的模拟，我们的刚体或多或少都会发生点形变，形变的程度依赖于碰撞之前的速度。为什么会这样了？UpdateEdges算法是正确的，但是，调用一次之后顶点之间的距离还是会发生改变。下图清晰的表明了这种情况：如果一个顶点被超过一个以上的Edge连接的时候，对一条边的长度约束会导致其他的边长度发生改变，而这就是导致物体变形的原因所在：
想要避免这个情况的发生，我们只能够通过多次的迭代调用前面提到的UpdateEdges函数来尽量减少这种情况的发生。UpdateEdges函数调用的次数越多，我们就越能够近似的处理这个任务。而这个就给了我们程序员很大的方便，我们可以根据游戏计算量的分配，来合理的安排到底需要调用几次这个函数。