[洛谷]P5365 [SNOI2017]英雄聯盟 (#揹包dp)

題目描述

正在上大學的小皮球熱愛英雄聯盟這款遊戲，而且打的很菜，被網友們戲稱爲「小學生」。

現在，小皮球終於受不了網友們的嘲諷，決定變強了，他變強的方法就是：買皮膚！

小皮球只會玩 \text{N}N 個英雄，因此，他也只准備給這 \text{N}N 個英雄買皮膚，並且決定，以後只玩有皮膚的英雄。

這 \text{N}N 個英雄中，第 \text{i}i 個英雄有 K_iKi​ 款皮膚，價格是每款 C_iCi​ Q 幣（同一個英雄的皮膚價格相同）。

爲了讓自己看起來高大上一些，小皮球決定給同學們展示一下自己的皮膚，展示的思路是這樣的：對於有皮膚的每一個英雄，隨便選一個皮膚給同學看。

比如，小皮球共有 5 個英雄，這 5 個英雄分別有 \text{0,0,3,2,4}0,0,3,2,4 款皮膚，那麼，小皮球就有 3 \times 2 \times 4 = 243×2×4=24種展示的策略。

現在，小皮球希望自己的展示策略能夠至少達到 \text{M}M 種，請問，小皮球至少要花多少錢呢？

輸入格式

第一行，兩個整數 \text{N,M}N,M。

第二行，\text{N}N 個整數，表示每個英雄的皮膚數量 K_iKi​。

第三行，\text{N}N 個整數，表示每個英雄皮膚的價格 C_iCi​。

輸出格式

一個整數，表示小皮球達到目標最少的花費。

輸入輸出樣例

輸入 #1複製

3 24
4 4 4
2 2 2

輸出 #1複製

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說明/提示

樣例解釋

每一個英雄都只有4款皮膚，每款皮膚2 Q幣，那麼每個英雄買3款皮膚，3 \times 3 \times 3 \ge 243×3×3≥24，共花費 6 \times 36×3Q幣。

數據範圍

共 10 組數據，第 \text{i}i 組數據滿足：\text{N} \le \max(5, log_2^4i)N≤max(5,log24​i)

\text{100}\%100% 的數據：\text{M} \le 10^{17}, 1 \le K_i \le 10, 1 \le C_i \le 199M≤1017,1≤Ki​≤10,1≤Ci​≤199。保證有解。

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思路

對於每一個皮膚，都有一個數量，一個花費，求方案數。所以這種有限物品數量的揹包問題就是多重揹包問題了。

不妨令方案數爲價值，Q幣爲花費，dp[i][j]爲前i個皮膚中j個花費的最大方案數。則：

dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i−1][j−k×v[i]]×k)

其中k爲第i個英雄選的皮膚數量，v[i]爲第i個英雄皮膚的花費。

然而，題目中的N雖然很鬼畜，但我們能感覺到N很大，二維dp可能會涼涼的......

所以用滾動數組把一維滾掉。我們可以發現，方案數因爲花費的變化而變化的，M和i沒什麼關係。所以用dp[j]表示花費j個物品的最大方案數。則：

dp[j]=max(dp[j],dp[j-k×v[i]]×k)

最後答案就枚舉出從0到QB中第一個比M大的數就可以了。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#define N 1000001
#define int long long int
using namespace std;
int dp[N],w[N],v[N],n,m,s,QB;
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	register int i,j,k;
	cin>>n>>m;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>w[i];
	}
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>v[i];
		QB+=w[i]*v[i];
	}
	dp[0]=1;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=QB;j>=0;j--)
		{
			for(k=0;k<=w[i]&&k*v[i]<=j;k++)
			{
				dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]*k]*k);
			}
		}
	}
	while(s<=QB && dp[s]<m) s++;
	cout<<s<<endl;
	return 0;
}