UVA-1218 Perfect Service(樹形dp)

題意:

有n(n<=10000)臺機器以無根樹形式連接，要求將其中一部分作爲服務器，使得每臺不是服務器的機器恰好和一臺服務器相鄰。求服務器的最少數量。

思路：

按結點的情況進行分類:

d(u,0):u是服務器，則每個子結點可以是服務器也可以不是。

d(u,1):u不是服務器，但u的父親是服務器，這意味着u的所有子結點都不是服務器。

d(u,2):u和u的父親都不是服務器。這意味着u恰好有一個兒子是服務器。

狀態轉移方程複雜一點，首先：

d(u,0)=sum{min(d(v,0),d(v,1))}+1

d(u,1)=sum(d(v,2))

而d(u,2)稍微複雜一點，需要枚舉當服務器的子結點編號v，然後把其他所有子結點v'的d(v',2)加起來，再和d(v,0)相加。不過如果這樣做，每次枚舉v都要O(k)時間(其中k是u的子結點數目)，而v本身要枚舉k次，因此計算d(u,2)需要花O()時間。

d(u,2)=min{sum{d(v',2)}+d(v,0)}

但這樣的做法有很多重複計算。應當注意到，sum{d(v',2)}=d(u,1)-d(v,2),代入上式：

d(u,2)=min{d(u,1)-d(v,2)+d(v,0)}

綜上，狀態轉移方程爲：

d(u,0)=sum{min(d(v,0),d(v,1))}+1

d(u,1)=sum(d(v,2))

d(u,2)=min{d(u,1)-d(v,2)+d(v,0)}

另外，有幾點要注意：

1、要把無根樹轉爲有根樹，用個dfs即可。

void dfs(int u,int fa){
	int k=v[u].size();
	for(int i=0;i<k;i++){
		int t=v[u][i];
		if(t!=fa)
			dfs(t,p[t]=u);
	}
}
int main(){
    for(int i=1;i<n;i++){
	    scanf("%d%d",&u,&k);
	    v[u].push_back(k);
	    v[k].push_back(u);
    }
    p[1]=-1;
    dfs(1,-1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		v[i].clear();
	for(int i=2;i<=n;i++)
		v[p[i]].push_back(i);
}

2、d(u,0),d(u,1),d(u,2)的初始值分別爲1，0，INF。INF不應設置爲太大的數，會溢出，看了別人的題解說用N的值剛好

3、最終答案取d(root,0)和d(root,2)的最小值

代碼:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int MAXN=10010;
vector<int> v[MAXN];
int n,d[MAXN][3],p[MAXN];
void dp(int u){
	if(v[u].empty()){
		d[u][0]=1;
		d[u][1]=0;
		d[u][2]=MAXN;
		return;
	}
	int k=v[u].size();
	d[u][0]=1;
	d[u][1]=0;
	d[u][2]=MAXN;
	for(int i=0;i<k;i++){
		dp(v[u][i]);
		d[u][0]+=min(d[v[u][i]][0],d[v[u][i]][1]);
		d[u][1]+=d[v[u][i]][2];
		d[u][2]=min(d[u][2],d[v[u][i]][0]-d[v[u][i]][2]);
	}
	d[u][2]+=d[u][1];
}
void dfs(int u,int fa){
	int k=v[u].size();
	for(int i=0;i<k;i++){
		int t=v[u][i];
		if(t!=fa)
			dfs(t,p[t]=u);
	}
}
int main(){
	int u,k;
	while(~scanf("%d",&n)){
		for(int i=1;i<=n;i++)
			v[i].clear();
		for(int i=1;i<n;i++){
			scanf("%d%d",&u,&k);
			v[u].push_back(k);
			v[k].push_back(u);
		}
		p[1]=-1;
		dfs(1,-1);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			v[i].clear();
		for(int i=2;i<=n;i++){
			v[p[i]].push_back(i);
		}
		dp(1);
		printf("%d\n",min(d[1][0],d[1][2]));
		scanf("%d",&n);
		if(n==-1)
			break;
	}
	return 0;
}