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來源：知乎
遞歸的三大要素
第一要素：明確你這個函數想要幹什麼
對於遞歸，我覺得很重要的一個事就是，這個函數的功能是什麼，他要完成什麼樣的一件事，而這個，是完全由你自己來定義的。也就是說，我們先不管函數裏面的代碼什麼，而是要先明白，你這個函數是要用來幹什麼。
例如，我定義了一個函數
// 算 n 的階乘(假設n不爲0)
int f(int n){
}
這個函數的功能是算 n 的階乘。好了，我們已經定義了一個函數，並且定義了它的功能是什麼，接下來我們看第二要素。
第二要素：尋找遞歸結束條件
所謂遞歸，就是會在函數內部代碼中，調用這個函數本身，所以，我們必須要找出遞歸的結束條件，不然的話，會一直調用自己，進入無底洞。也就是說，我們需要找出當參數爲啥時，遞歸結束，之後直接把結果返回，請注意，這個時候我們必須能根據這個參數的值，能夠直接知道函數的結果是什麼。
例如，上面那個例子，當 n = 1 時，那你應該能夠直接知道 f(n) 是啥吧？此時，f(1) = 1。完善我們函數內部的代碼，把第二要素加進代碼裏面，如下
// 算 n 的階乘(假設n不爲0)
int f(int n){
if(n == 1){
return 1;
}
}
有人可能會說，當 n = 2 時，那我們可以直接知道 f(n) 等於多少啊，那我可以把 n = 2 作爲遞歸的結束條件嗎？
當然可以，只要你覺得參數是什麼時，你能夠直接知道函數的結果，那麼你就可以把這個參數作爲結束的條件，所以下面這段代碼也是可以的。
// 算 n 的階乘(假設n>=2)
int f(int n){
if(n == 2){
return 2;
}
}
注意我代碼裏面寫的註釋，假設 n >= 2，因爲如果 n = 1時，會被漏掉，當 n <= 2時，f(n) = n，所以爲了更加嚴謹，我們可以寫成這樣：
// 算 n 的階乘(假設n不爲0)
int f(int n){
if(n <= 2){
return n;
}
}
第三要素：找出函數的等價關係式
第三要素就是，我們要不斷縮小參數的範圍，縮小之後，我們可以通過一些輔助的變量或者操作，使原函數的結果不變。
例如，f(n) 這個範圍比較大，我們可以讓 f(n) = n * f(n-1)。這樣，範圍就由 n 變成了 n-1 了，範圍變小了，並且爲了原函數f(n) 不變，我們需要讓 f(n-1) 乘以 n。
說白了，就是要找到原函數的一個等價關係式，f(n) 的等價關係式爲 n * f(n-1)，即
f(n) = n * f(n-1)。
這個等價關係式的尋找，可以說是最難的一步了，如果你不大懂也沒關係，因爲你不是天才，你還需要多接觸幾道題，我會在接下來的文章中，找 10 道遞歸題，讓你慢慢熟悉起來。
找出了這個等價，繼續完善我們的代碼，我們把這個等價式寫進函數裏。如下：
// 算 n 的階乘(假設n不爲0)
int f(int n){
if(n <= 2){
return n;
}
// 把 f(n) 的等價操作寫進去
return f(n-1) * n;
}
至此，遞歸三要素已經都寫進代碼裏了，所以這個 f(n) 功能的內部代碼我們已經寫好了。
這就是遞歸最重要的三要素，每次做遞歸的時候，你就強迫自己試着去尋找這三個要素。
案例1：斐波那契數列
斐波那契數列的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34....，即第一項 f(1) = 1,第二項 f(2) = 1.....,第 n 項目爲 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。求第 n 項的值是多少。
1、第一遞歸函數功能
假設 f(n) 的功能是求第 n 項的值，代碼如下：
int f(int n){
}
2、找出遞歸結束的條件
顯然，當 n = 1 或者 n = 2 ,我們可以輕易着知道結果 f(1) = f(2) = 1。所以遞歸結束條件可以爲 n <= 2。代碼如下：
int f(int n){
if(n <= 2){
return 1;
}
}
第三要素：找出函數的等價關係式
題目已經把等價關係式給我們了，所以我們很容易就能夠知道 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。我說過，等價關係式是最難找的一個，而這個題目卻把關係式給我們了，這也太容易，好吧，我這是爲了兼顧幾乎零基礎的讀者。
所以最終代碼如下：
int f(int n){
// 1.先寫遞歸結束條件
if(n <= 2){
return 1;
}
// 2.接着寫等價關係式
return f(n-1) + f(n - 2);
}
搞定，是不是很簡單？
零基礎的可能還是不大懂，沒關係，之後慢慢按照這個模式練習！好吧，有大佬可能在吐槽太簡單了。
案例2：小青蛙跳臺階
一隻青蛙一次可以跳上1級臺階，也可以跳上2級。求該青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法。
1、第一遞歸函數功能
假設 f(n) 的功能是求青蛙跳上一個n級的臺階總共有多少種跳法，代碼如下：
int f(int n){
}
2、找出遞歸結束的條件
我說了，求遞歸結束的條件，你直接把 n 壓縮到很小很小就行了，因爲 n 越小，我們就越容易直觀着算出 f(n) 的多少，所以當 n = 1時，你知道 f(1) 爲多少吧？夠直觀吧？即 f(1) = 1。代碼如下：
int f(int n){
if(n == 1){
return 1;
}
}
第三要素：找出函數的等價關係式
每次跳的時候，小青蛙可以跳一個臺階，也可以跳兩個臺階，也就是說，每次跳的時候，小青蛙有兩種跳法。
第一種跳法：第一次我跳了一個臺階，那麼還剩下n-1個臺階還沒跳，剩下的n-1個臺階的跳法有f(n-1)種。
第二種跳法：第一次跳了兩個臺階，那麼還剩下n-2個臺階還沒，剩下的n-2個臺階的跳法有f(n-2)種。
所以，小青蛙的全部跳法就是這兩種跳法之和了，即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。至此，等價關係式就求出來了。於是寫出代碼：
int f(int n){
if(n == 1){
return 1;
}
ruturn f(n-1) + f(n-2);
}
大家覺得上面的代碼對不對？
答是不大對，當 n = 2 時，顯然會有 f(2) = f(1) + f(0)。我們知道，f(0) = 0，按道理是遞歸結束，不用繼續往下調用的，但我們上面的代碼邏輯中，會繼續調用 f(0) = f(-1) + f(-2)。這會導致無限調用，進入死循環。
這也是我要和你們說的，關於遞歸結束條件是否夠嚴謹問題，有很多人在使用遞歸的時候，由於結束條件不夠嚴謹，導致出現死循環。也就是說，當我們在第二步找出了一個遞歸結束條件的時候，可以把結束條件寫進代碼，然後進行第三步，但是請注意，當我們第三步找出等價函數之後，還得再返回去第二步，根據第三步函數的調用關係，會不會出現一些漏掉的結束條件。就像上面，f(n-2)這個函數的調用，有可能出現 f(0) 的情況，導致死循環，所以我們把它補上。代碼如下：
int f(int n){
//經過分析，f(2)=2也是一個臨界條件。
if(n <= 2){
return n;
}
ruturn f(n-1) + f(n-2);
}
有人可能會說，我不知道我的結束條件有沒有漏掉怎麼辦？別怕，多練幾道就知道怎麼辦了。
看到這裏有人可能要吐槽了，這兩道題也太容易了吧？？能不能被這麼敷衍。少俠，別走啊，下面出道難一點的。下面其實也不難了，就比上面的題目難一點點而已，特別是第三步等價的尋找
案例3：反轉單鏈表。
反轉單鏈表。例如鏈表爲：1->2->3->4。反轉後爲 4->3->2->1
鏈表的節點定義如下：
class Node{
int date;
Node next;
}
雖然是 Java語言，但就算你沒學過 Java，我覺得也是影響不大，能看懂。
還是老套路，三要素一步一步來。
1、定義遞歸函數功能
假設函數 reverseList(head) 的功能是反轉但鏈表，其中 head 表示鏈表的頭節點。代碼如下：
Node reverseList(Node head){
}
2. 尋找結束條件
當鏈表只有一個節點，或者如果是空表的話，你應該知道結果吧？直接啥也不用幹，直接把 head 返回唄。代碼如下：
Node reverseList(Node head){
if(head == null || head.next == null){
return head;
}
}
3. 尋找等價關係
這個的等價關係不像 n 是個數值那樣，比較容易尋找。但是我告訴你，它的等價條件中，一定是範圍不斷在縮小，對於鏈表來說，就是鏈表的節點個數不斷在變小，所以，如果你實在找不出，你就先對 reverseList(head.next) 遞歸走一遍，看看結果是咋樣的。例如鏈表節點如下
我們就縮小範圍，先對 2->3->4遞歸下試試，即代碼如下
Node reverseList(Node head){
if(head == null || head.next == null){
return head;
}
// 我們先把遞歸的結果保存起來，先不返回，因爲我們還不清楚這樣遞歸是對還是錯。，
Node newList = reverseList(head.next);
}
我們在第一步的時候，就已經定義了 reverseLis t函數的功能可以把一個單鏈表反轉，所以，我們對 2->3->4反轉之後的結果應該是這樣：
我們把 2->3->4 遞歸成 4->3->2。不過，1 這個節點我們並沒有去碰它，所以 1 的 next 節點仍然是連接這 2。
接下來呢？該怎麼辦？
其實，接下來就簡單了，我們接下來只需要把節點 2 的 next 指向 1，然後把 1 的 next 指向 null,不就行了？，即通過改變 newList 鏈表之後的結果如下：
也就是說，reverseList(head) 等價於 reverseList(head.next) + 改變一下1，2兩個節點的指向。好了，等價關係找出來了，代碼如下(有詳細的解釋)：
//用遞歸的方法反轉鏈表
public static Node reverseList2(Node head){
// 1.遞歸結束條件
if (head == null || head.next == null) {
return head;
}
// 遞歸反轉 子鏈表
Node newList = reverseList2(head.next);
// 改變 1，2節點的指向。
// 通過 head.next獲取節點2
Node t1 = head.next;
// 讓 2 的 next 指向 2
t1.next = head;
// 1 的 next 指向 null.
head.next = null;
// 把調整之後的鏈表返回。
return newList;
}
這道題的第三步看的很懵？正常，因爲你做的太少了，可能沒有想到還可以這樣，多練幾道就可以了。但是，我希望通過這三道題，給了你以後用遞歸做題時的一些思路，你以後做題可以按照我這個模式去想。通過一篇文章是不可能掌握遞歸的，還得多練，我相信，只要你認真看我的這篇文章，多看幾次，一定能找到一些思路！
接下來我講講有關遞歸的一些優化。
有關遞歸的一些優化思路
1. 考慮是否重複計算
告訴你吧，如果你使用遞歸的時候不進行優化，是有非常非常非常多的子問題被重複計算的。
啥是子問題？ f(n-1),f(n-2)....就是 f(n) 的子問題了。
例如對於案例2那道題，f(n) = f(n-1) + f(n-2)。遞歸調用的狀態圖如下：
看到沒有，遞歸計算的時候，重複計算了兩次 f(5)，五次 f(4)。。。。這是非常恐怖的，n 越大，重複計算的就越多，所以我們必須進行優化。
如何優化？一般我們可以把我們計算的結果保證起來，例如把 f(4) 的計算結果保證起來，當再次要計算 f(4) 的時候，我們先判斷一下，之前是否計算過，如果計算過，直接把 f(4) 的結果取出來就可以了，沒有計算過的話，再遞歸計算。
用什麼保存呢？可以用數組或者 HashMap 保存，我們用數組來保存把，把 n 作爲我們的數組下標，f(n) 作爲值，例如 arr[n] = f(n)。f(n) 還沒有計算過的時候，我們讓 arr[n] 等於一個特殊值，例如 arr[n] = -1。
當我們要判斷的時候，如果 arr[n] = -1，則證明 f(n) 沒有計算過，否則， f(n) 就已經計算過了，且 f(n) = arr[n]。直接把值取出來就行了。代碼如下：
// 我們實現假定 arr 數組已經初始化好的了。
int f(int n){
if(n <= 1){
return n;
}
//先判斷有沒計算過
if(arr[n] != -1){
//計算過，直接返回
return arr[n];
}else{
// 沒有計算過，遞歸計算,並且把結果保存到 arr數組裏
arr[n] = f(n-1) + f(n-1);
reutrn arr[n];
}
}
也就是說，使用遞歸的時候，必要 須要考慮有沒有重複計算，如果重複計算了，一定要把計算過的狀態保存起來。
2. 考慮是否可以自底向上
對於遞歸的問題，我們一般都是從上往下遞歸的，直到遞歸到最底，再一層一層着把值返回。
不過，有時候當 n 比較大的時候，例如當 n = 10000 時，那麼必須要往下遞歸10000層直到 n <=1 纔將結果慢慢返回，如果n太大的話，可能棧空間會不夠用。
對於這種情況，其實我們是可以考慮自底向上的做法的。例如我知道
f(1) = 1;
f(2) = 2;
那麼我們就可以推出 f(3) = f(2) + f(1) = 3。從而可以推出f(4),f(5)等直到f(n)。因此，我們可以考慮使用自底向上的方法來取代遞歸，代碼如下：
public int f(int n) {
if(n <= 2)
return n;
int f1 = 1;
int f2 = 2;
int sum = 0;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
sum = f1 + f2;
f1 = f2;
f2 = sum;
}
return sum;
}
這種方法，其實也被稱爲動態規劃。
最後總結
其實，遞歸不一定總是從上往下，也是有很多是從下往上的，例如 n = 1 開始，一直遞歸到 n = 1000，例如一些排序組合。對於這種從下往上的，也是有對應的優化技巧，不過，我就先不寫了，後面再慢慢寫。這篇文章寫了很久了，脖子有點受不了了，，，，頸椎病？害怕。。。。
說實話，對於遞歸這種比較抽象的思想，要把他講明白，特別是講給初學者聽，還是挺難的，這也是我這篇文章用了很長時間的原因，不過，只要能讓你們看完，有所收穫，我覺得值得！