【bzoj3143】[Hnoi2013]遊走

題目鏈接

Description

一個無向連通圖，頂點從1編號到N，邊從1編號到M。
小Z在該圖上進行隨機遊走，初始時小Z在1號頂點，每一步小Z以相等的概率隨機選 擇當前頂點的某條邊，沿着這條邊走到下一個頂點，獲得等於這條邊的編號的分數。當小Z 到達N號頂點時遊走結束，總分爲所有獲得的分數之和。
現在，請你對這M條邊進行編號，使得小Z獲得的總分的期望值最小。

Input

第一行是正整數N和M，分別表示該圖的頂點數 和邊數，接下來M行每行是整數u，v(1≤u,v≤N)，表示頂點u與頂點v之間存在一條邊。 輸入保證30%的數據滿足N≤10，100%的數據滿足2≤N≤500且是一個無向簡單連通圖。

Output

僅包含一個實數，表示最小的期望值，保留3位小數。

Sample Input

3 3

2 3

1 2

1 3

Sample Output

3.333

HINT

邊(1,2)編號爲1，邊(1,3)編號2，邊(2,3)編號爲3。

題解

首先根據貪心的思想，期望經過次數更多的邊我們給它更小的編號。
那麼我們需要求所有邊的期望經過次數。
發現邊的期望經過次數僅與它連接的兩個點的期望到達次數和兩個點的度數有關，設邊e連接了u和v兩個點，則邊的期望經過次數g[e] 可以用點的期望經過次數f[u] 和f[v] 和他們的度數deg[u] 和deg[v] 表示爲：

g[e]=f[u]/deg[u]+f[v]/deg[v]

現在我們要求的就是點的期望經過次數了。
一個點的期望經過次數可以通過與它相連的點的期望經過次數得到：

f[u]=∑f[v]/deg[v]

那麼我們就可以得到除了第n個點以外的n-1個方程。
直接高斯消元即可。
注意f[1] 在最後要+1 處理，即在方程中：

f[1]−1=∑f[v]/deg[v]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

inline int read(){
    int x = 0, f = 1; char c = getchar();
    while(!isdigit(c)) { if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
    while(isdigit(c)) { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
    return x * f;
}

typedef double db;

const int N = 500 + 10, M = 300000 + 10;
const db eps = 1e-9;

int n, m, tot;
int fr[M], to[M], nxt[M], hd[N], deg[N];
int u[M], v[M];
db a[N][N], g[M], ans;

void insert(int u, int v){
    fr[++tot] = u; to[tot] = v; nxt[tot] = hd[u]; hd[u] = tot;
    fr[++tot] = v; to[tot] = u; nxt[tot] = hd[v]; hd[v] = tot;
    deg[u]++; deg[v]++;
}

void init(){
    n = read(); m = read();
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        u[i] = read(); v[i] = read();
        insert(u[i], v[i]);
    }
    n--; a[1][n+1] = -1.0;
    for(int u = 1; u <= n; u++){
        a[u][u] = -1;
        for(int i = hd[u]; i; i = nxt[i])
            if(to[i] != n + 1)
                a[u][to[i]] = 1.0 / deg[to[i]];
    }
}

void gauss(){
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        int r = i;
        for(int j = i + 1; j <= n; j++) if(fabs(a[j][i]) > fabs(a[r][i])) swap(r, j);
        if(r != i) for(int j = 1; j <= n + 1; j++) swap(a[i][j], a[r][j]);
        if(fabs(a[i][i]) < eps) continue;
        for(int j = n + 1; j >= i; j--)
            for(int k = i + 1; k <= n; k++)
                a[k][j] -= a[k][i] / a[i][i] * a[i][j];
    }
    for(int i = n; i; i--){
        for(int j = i + 1; j <= n; j++)
            a[i][n+1] -= a[j][n+1] * a[i][j];
        a[i][n+1] /= a[i][i];
    }
}

void work(){
    gauss();
    for(int i = 1; i <= m; i++) g[i] = a[u[i]][n+1]/deg[u[i]] + a[v[i]][n+1]/deg[v[i]];
    sort(g + 1, g + m + 1);
    for(int i = 1; i <= m; i++) ans += g[i] * (m - i + 1);
    printf("%.3lf\n", ans);
}

int main(){
    init();
    work();
    return 0;
}