最大權閉合子圖的解法

給出一些權值爲正和一些權值爲負的點，然後點與點之間有依賴關係，如選A點就必須選擇B點之類，問最後選擇一些點，使得權值之和最大。

利用最小割去求解此問題，將正權值的點與源點建一條流量爲權值的邊，負權值的點與匯點建一條流量爲權值的絕對值的邊。有依賴關係的點之間建立一條流量爲無窮的邊。

顯然求出的最小割中，不會有無窮的這條割邊，割只會是與源匯直接關聯的邊（兩種邊），最後答案就是正權值之和-最大流（最小割）。

我們可以這樣思考，我們先假設把所有的正權值的點選上，不考慮所要支付的代價。要是最後權值之和最大，也就要刪掉儘可能小的權值或者支付儘可能小的代價。假如最小割中有一條邊是關聯源點和某一個正權值的點，就相當於我不選擇這個點，所以sum要減去這個權值，也就是這條割邊的流量。最小割中的另一種邊就是與匯點相連的負權值的點，減去這條割邊的流量，就相當於我要支付這個權值的代價（由於點與點之間的依賴關係）。這樣看來，求的sum-最小割就是我們得到最後答案。

下面附上代碼。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define MAXN 205  
#define MAXM 20008
#define INF 0x3f3f3f3f 
#define max(a,b) (a>b?a:b)  
#define min(a,b) (a<b?a:b)  

using namespace std;  

struct edge  
{  
    int u,v,next,w;
    edge(){}
    edge(int _u, int _v, int _w, int _ne):u(_u), v(_v), w(_w), next(_ne){} 
}E[MAXM];
bool mark[MAXN];
int head[MAXN],size;  
int gap[MAXN],cur[MAXN],pre[MAXN],dis[MAXN];  
int N,M,scr,sink,vn,cas,cnt;  
int U[MAXM],V[MAXM],D[MAXM];  
int W[MAXM];
vector <int>ans;
void add(int u,int v,int w)  
{
     E[size] = edge(u, v, w, head[u]);
     head[u] = size++;
     E[size] = edge(v, u, 0, head[v]);
     head[v] = size++; 
}

void Init()  
{  
     memset (mark, false, sizeof (mark));
    memset(head,-1,sizeof(head));
    size = 0;    
}

int Sap(int s,int t,int n)//s表示起點，t表示終點，n表示點的個數 
{  
    int ans=0,aug=INF;//aug表示增廣路的流量  
    int i,v,u=pre[s]=s;  
    for(i=0;i<=n;i++)  
    {  
        cur[i]=head[i];  
        dis[i]=gap[i]=0;  
    }  
    gap[s]=n;  
    bool flag;  
    while(dis[s]<n)  
    {  
        flag=false;  
        for(int &j=cur[u];j!=-1;j=E[j].next)
        {  
            v=E[j].v;  
            if(E[j].w>0&&dis[u]==dis[v]+1)  
            {  
                flag=true;//找到容許邊  
                aug=min(aug,E[j].w);  
                pre[v]=u;  
                u=v;  
                if(u==t)  
                {  
                    ans+=aug;  
                    while(u!=s)  
                    {  
                        u=pre[u];  
                        E[cur[u]].w-=aug;  
                        E[cur[u]^1].w+=aug;//注意  
                    }  
                    aug=INF;  
                }  
                break;//找到一條就退出  
            }  
        }  
        if(flag) continue;  
        int mindis=n;  
        for(i=head[u];i!=-1;i=E[i].next)  
        {  
            v=E[i].v;  
            if(E[i].w>0&&dis[v]<mindis)  
            {  
                mindis=dis[v];  
                cur[u]=i;  
            }  
        }  
        if((--gap[dis[u]])==0) break;  
        gap[dis[u]=mindis+1]++;  
        u=pre[u];  
    }  
    return ans;  
}

void find(int u)
{
     mark[u] = true;
     for (int i = head[u];~i;i= E[i].next)
     {
         if (E[i].w > 0 && !mark[E[i].v])
            ans.push_back(E[i].v), find(E[i].v);
     }
}
int main()
{
    int i, n, end, st, cnt, v, d, sum;  
    while (scanf ("%d", &n), n)
    {
          sum = 0, st = 0, end = n+1;
          Init();
          for (i = 1;i <= n;i++)
          {
              scanf ("%d", &d);
              if (d < 0) add(i, end, -d);
              else sum += d, add(st, i, d);
              scanf ("%d", &cnt);
              while (cnt--)
              {
                    scanf ("%d", &v);
                    add(i, v, INF);
              }
          }
          int flow = sum - Sap(st, end, n+2);
          if (flow <= 0) puts("Refused");
          else
          {
              ans.clear();
              find(0);
              sort (ans.begin(), ans.end());
              printf ("%d %d\n", flow, ans.size());
              for (i = 0;i < ans.size();i++)
              {
                  if(i) printf (" ");
                  printf ("%d", ans[i]);
              }
              puts("");
          }
    }
}