【01 dp】B006_NK_石頭碰撞（問題轉化）

一、Problem

給定一組石頭，每個石頭有一個正數的重量。每一輪開始的時候，選擇兩個石頭一起碰撞，假定兩個石頭的重量爲x，y，x<=y，碰撞結果爲

1. 如果x==y，碰撞結果爲兩個石頭消失
2. 如果x != y，碰撞結果兩個石頭消失，生成一個新的石頭，新石頭重量爲y-x

最終最多剩下一個石頭爲結束。求解最小的剩餘石頭質量的可能性是多少。

輸入描述:
第一行輸入石頭個數(<=100)

第二行輸入石頭質量，以空格分割，石頭質量總和<=10000

輸出描述:
最終的石頭質量

輸入例子1:
6
2 7 4 1 8 1

輸出例子1:
1

二、Solution

方法一：貪心 + PQ（WA）

每次拿出兩塊質量最大的石頭，如果質量不相同則進行碰撞，碰完加到堆中，可惜只能過 64% 樣例…

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
    static class Solution {
        void init() {
            Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
            int n = sc.nextInt();
            Queue<Integer> q = new PriorityQueue<>((e1, e2) -> e2 - e1);
            for (int i = 0; i < n; i++)
                q.add(sc.nextInt());
 
            while (q.size() > 1) {
                int x = q.poll(), y = q.poll();
                if (x > y)
                    q.add(x-y);
            }
            System.out.println(q.isEmpty() ? 0 : q.peek());
        }
    }
    public static void main(String[] args) throws IOException { 
        Solution s = new Solution();
        s.init();
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(nlogn)$，
• 空間複雜度：$O(n)$，

---

方法二：01 dp

我是在想不到揹包，感覺這題考察的是問題的轉化：微觀來看，由於每次都是以兩個爲一組的石頭進行相碰；宏觀來看就是將所有石頭分成兩大堆進行碰撞，求如何分配才能讓碰撞結果變得最小；

又由於最後最多會剩下一個石頭，所以最後的結果要麼是最小要麼是 0，由此推出兩大堆石頭中質量較小的一堆的總質量 $\leqslant \cfrac{sum}{2}$，那如何才能讓兩堆石頭的差值最小？答案是儘量讓兩堆石頭的重量儘量接近，所以問題轉化爲：揹包容量爲 $\cfrac{sum}{2}$ 時，儘量最大化重量較小的一堆的石頭的重量。

• 定義狀態：
  • $f[j]$ 表示揹包容量爲 $j$ 時，可收納的最大重量的石頭.
• 思考初始化：
  • $f[0...cap] = 0$
• 思考狀態轉移方程：
  • $f[i] = max(f[i],\ f[i-w[i]] + w[i])$ 對於第 $i$ 堆石頭，要麼裝下，要麼不裝。
• 思考輸出：$(sum - f[cap]) - f[cap]$ 表示

import java.util.*;
import java.math.*;
import java.io.*;
public class Main{
    static class Solution {
        void init() {
            Scanner sc = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
            int n = sc.nextInt(), sum = 0, w[] = new int[n];
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                w[i] = sc.nextInt();
                sum += w[i];
            }
            int cap = sum >>> 1, f[] = new int[cap+1];

            for (int i = 0; i < n; i++) 
            for (int j = cap; j >= w[i]; j--) {
                f[j] = Math.max(f[j], f[j-w[i]] + w[i]);
            } 
            System.out.println(sum - f[cap] - f[cap]);
        }  
    }
    public static void main(String[] args) throws IOException { 
        Solution s = new Solution();
        s.init();
    }
}

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(n × cap)$，
• 空間複雜度：$O(n)$，

類似的問題還有：將一對數字分割爲兩個集合，兩個集合的最小差值（同樣也是 ）