第三章 二维随机变量
3.1 联合分布
定义1 设试验E的样本空间为S={e}，而X=X(e),Y=Y(e)是定义在S上的两个随机变量。称由这两个随机变量组成的向量(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量。
定义 2 设(X,Y)为二维随机变量，对任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}
称为二维随机变量（X,Y）的分布函数，或称之为随机变量X和Y的联合分布函数。
二维分布函数F(X,Y)的性质：
1. 取值范围：0≤F(x,y)≤1 ,且
F(x,−∞)=F(−∞,y)=F(−∞,−∞)=0F(+∞,+∞)=1
2. F(x,y)对x或对y单调不减。
3. F(x,y)对x或对y右连续。
4. 对任意实数
x1<x2,y1<y2 ，恒有
F(x2,y2)+F(x1,y1)−F(x1,y2)−F(x2,y1)≥0
定义 3 若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为有限对或可列对
(xi,yi),i,j=1,2,3,... ，则称(X,Y)是离散型随机变量。记
P{X=xi,Y=yi}=pij,i,j=1,2,3,...
称为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或称随机变量X和Y的联合分布律。
定义 4 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，若有非负函数f(x,y),使得对任意实数x,y,恒有
F(x,y)=∫y−∞∫x−∞f(u,v)dudv
则称(X,Y)是二维连续型随机变量，称函数f(x,y)为连续型随机变量(X,Y)的概率密度，称为随机变量X与Y的联合概率密度。
常用的二维连续型随机变量有下面两种：
1. 均匀分布
若随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)={1A,(x,y)
2. 正态分布
若随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)=12πσ1σ21−ρ2−−−−−√exp{−12(1−ρ2)[(x−μ1)2σ21−2ρ(x−μ1)(y−μ2)σ1σ2+(y−μ1)2σ22]}
式中，
μ1,μ2,σ1,σ2,ρ 均为常数，且
−∞<μ1<+∞,−∞<μ2<+∞,σ1>0,σ2>0,|ρ|<1, 则称随机变量(X,Y)服从参数为
μ1,μ2,σ1,σ2,ρ 的二维正态分布，记作
(X,Y)∼N(μ1,σ21;μ2,σ22;ρ)
3.2 边沿分布律与条件分布律
3.2.1 边沿分布律
设(X,Y)的分布律为
pij=PX=xi,Y=yh,i,j=1,2,3...
由于
∑∞j=1{Y=yj}=S 且
{Y=y1},{Y=y2},...,{Y=yj},... 互不相容，故由概率性质得(X,Y)关于X的边沿分布律为
pi.=P{X=xi}=P{(X=xi)[∑j=1∞(Y=yj)]}=P{∑j=1∞(X=xi,Y=yj)}=∑j=1∞P{X=xi,Y=yj}=∑j=1∞pij,i=1,2,3,...
即
pi.=∑j=1∞pij,i=1,2,3...
同理，(X,Y)关于Y的边沿分布律为
p.j=P{Y=yi}=∑∞j=1pij,j=1,2,3,...
3.2.2 条件分布律
定义 5 对于二维离散型随机变量(X,Y)，当p.j>0 时，称
P{X=xi|Y=yj}=P{X=xi,Y=yj}P{Y=yj}=pijp.j,i=1,2,3,...
为在
Y=yj 的条件下X的条件分布律。
（X,Y对调后同理，不再赘述）
3.3 边沿分布函数
设(X,Y)的分布函数为F(x,y),记(X,Y)关于X和关于Y的边沿分布函数分别为FX(x),FY(y) ，则
FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<+∞}=F(x,+∞)
同理
FY(y)=F(+∞,y)
边沿分布函数可由联合分布函数得到。
3.4 边沿概率密度与条件概率密度
3.4.1 边沿概率密度
设连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),可得
FX(x)=F(x,+∞)=∫x−∞[∫+∞−∞f(x,y)dy]dxFY(y)=F(+∞,y)=∫y−∞[∫+∞−∞f(x,y)dx]dy
关于X的边沿概率密度为
fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dy
关于Y的边沿概率密度为
fY(x)=∫+∞−∞f(x,y)dx
求二维正态分布的两个边沿概率密度可知：其两个边沿分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参数ρ 。于是，对于给定参数μ1,μ2,σ1,σ2, 不同的参数ρ 对应不同二维正态分布，他们的边沿分布式完全相同的。因此，联合分布可以完全确定他的边沿分布，但边沿分布一般情况下不能确定联合分布。
3.4.2 条件概率密度
定义 6 对于二维连续型随机变量(X,Y)，如果存在极限
limε→0+P{X≤x|y−ε<Y≤y+ε}
则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数，记为
FX|Y(x|y)
可推出，在条件Y=y下X的条件概率密度，记作
fX|Y=(x|y) ,为
fX|Y(x|y)=f(x,y)fY(y),fY(y)≠0
3.5 相互独立的随机变量
定义 7 设X,Y为两个随机变量，若对任意实数x,y，有
P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}⋅P{Y≤y}
则称X,Y相互独立，简称独立。
定理 1 设二维离散型随机变量(X,Y)的分布律及边沿分布律分别为
pij,pi.,p.j,i,j=1,2,3,... 则X与Y相互独立的充分必要条件是：对任意的i,j，有
pij=pi.p.j
定理 2 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度及边沿概率密度分别为
fX(x),fY(y) 则X与Y相互独立的充分必要条件是：
f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)
独立性概念可以推广到有限个或可列个随机变量的情形
定义 8 设X1,X2,...,Xn 为n个随机变量，若对任意实数x1,x2,...,xn ，恒有
F(x1,x2,...,xn)=FX1(x1)FX2(x2)...FXn(xn)
式中，
F(x1,x2,...,xn),FXi(xi),i=1,2,...,n 分别为
X1,X2,...,Xn 的联合分布函数和边沿分布函数，则称n个随机变量
X1,X2,...,Xn 相互独立。
定理 3 若
(X1,X2,...,Xn) 是n为连续型随机变量，则
X1,X2,...,Xn 相互独立的充分必要条件是
f(x1,x2,...,xn)=fX1(x1)fX2(x2)...fXn(xn)
