干預分析模型預測法

《統計預測與決策》第五版_徐國祥

一、干預分析模型

干預的含義：
時間序列經常會受到特殊事件及態勢的影響，諸如國內經濟政策或經濟規則的變更、國際政治局勢的驟變，以及節假日、罷工、賤賣、促銷之類事件的影響等。

干預分析廣泛用於描述經濟政策的變化或突發事件對經濟環境、經濟過程或結果的具體影響的定量分析。

研究干預分析的目的：從定量分析的角度來評估政策干預或突發事件對經濟環境和經濟過程的具體影響。

一般來講，干預分析模型是與時間序列模型結合起採進行研究的。

干預分析模型所要解決的問題：在干預事件發生後，序列是否存在任何事實上的變化？若有影響，其影響程度又如何？

干預分析模型是傳遞函數模型的一種推廣，當不存在干預影響時，這兩種模型沒有本質上的區別。由傳遞函數發展到干預分析的過程，類似於從多元迴歸分析發展到虛擬變量的應用。

干預分析與迴歸分析中虛擬變量之間的主要差別是：前者爲動態模型，後者爲靜態模式；前者是一個過程，後者是單個或多個變量。因此，干預分析模型的研究，無論從內容上還是方法上，都要比虛擬變量複雜得多。

二、干預分析模型的基本形式

（1）干預變量形式

干預分析模型的基本變量是干預變量，有兩種常見的干預變量。

• 持續性的干預變量，表示 T 時刻發生以後, 一直有影響，這時可以用階躍函數表示,形式是：
  $S_{t}^{T}=\left\{ \begin{array}{c} 0,\ \text{干預事件發生之前\ }t<T\\ 1,\ \text{干預事件發生之後\ }t\ge T\\ \end{array} \right.$

• 短暫性的干預變量，表示在某時刻發生, 僅對該時刻有影響, 用單位脈衝函數表示，形式是：
  $P_t^T=\left\{ \begin{array}{l} 0\text{，干預事件發生時\ }t=T\\ 1\text{，其他時間\ }t\ne T\\ \end{array} \right.$

（2）干預事件形式

不管經濟系統如何受到多種干預的影響，也不管這些影響是多麼複雜，都可以用這四種形式或者是它們的某種組合來表示。同時，也可以用這種組合去模擬多個干預事件所產生的影響。

• 干預事件的影響突然開始，長期持續下去

設干預對因變量的影響是固定的，從某一時刻T開始，但影響的程度是未知的，即因變量的大小是未知的。這種影響的干預模型可寫爲：
$Y_t=\omega S_{t}^{T}$ω 表示干預影響強度的未知參數。$Y_t$ 不平穩時可以通過差分化爲平穩序列，則干預模型可調整爲：
$\left( 1-B \right) Y_t=\omega S_{t}^{T}$其中，B爲後移算子。如果幹預事件要滯後若干個時期才產生影響，如 b 個時期，那麼，干預模型可進一步調整爲

$Y_t=\omega B^bS_{t}^{T}$

• 干預事件逐漸開始，長期持續下去

有時候干預事件突然發生，並不能立刻產生完全的影響，而是隨着時間的推移，逐漸地感到這種影響的存在。這種形式的最簡單情形的模型方程爲：
$Y_t=\frac{\omega B}{1-\delta B}S_{t}^{T}\text{，}0<\delta <1$更一般的模型是 ：

$Y_t=\frac{\omega B^b}{1-\delta _1B-\cdots -\delta _rB^r}S_{t}^{T}\text{，}0<\delta <1$

• 干預事件突然開始，產生暫時的影響
  $Y_t=\frac{\omega B^b}{1-\delta B}P_{t}^{T}\text{，}0<\delta <1$

當 $\delta =0$ 時，干預的影響只存在一個時期
當 $\delta =1$ 時，干預的影響將長期存在

• 干預事件逐漸開始，產生暫時的影響

干預的影響逐漸增加，在某個時刻到達高峯，然後又逐漸減弱以至消失。這類干預現象可用以下模型描繪：

$Y_t=\frac{\omega _0}{1-\delta _1B-\cdots -\delta _rB^r}P_{t}^{T}$

綜上，當選擇恰當的干預變量後，干預分析模型可以較好的反映經濟變量的波動情況。

三、單變量干預分析模型的識別與估計

單變量時間序列的干預模型，就是在時間序列模型中加進各種干預變量的影響。

（1）干預模型的構造

干預分析模型的主要目的是爲了測度干預效應，就干預變量而言，剔除了干預影響後的序列，可以看作普通的時間序列。

設平穩化後的單變量序列滿足下述模型：
$y_t=\frac{\theta \left( B \right)}{\phi \left( B \right)}a_t$又設干預事件的影響爲：
$Z_t=\frac{\omega \left( B \right)}{\delta \left( B \right)}I_{t}^{T}$
其中 $I_{t}^{T}$ 爲干預變量，它等於 $S_{t}^{T}$ 或 $P_{t}^{T}$ ，則單變量序列的干預模型爲 ：$y_t=\frac{\omega \left( B \right)}{\delta \left( B \right)}I_{t}^{T}+\frac{\theta \left( B \right)}{\phi \left( B \right)}a_t=\psi \left( B \right) I_{t}^{T}+\varepsilon _t$這裏：$\psi \left( B \right) =\frac{\omega \left( B \right)}{\delta \left( B \right)}\text{，}\varepsilon _t=\frac{\theta \left( B \right)}{\phi \left( B \right)}a_t$
在此模型的基礎上，要根據序列變化的現實資料，對$\psi \left( B \right) \text{，}\frac{\theta \left( B \right)}{\phi \left( B \right)}$ 進行識別

（2）干預效應的識別

在對實際數據進行干預分析的過程中，一個主要的困難是，觀察到的序列現實值是受到了干預變量影響的數據，不能保證自相關函數與偏自相關函數所反映的ARIMA模型是真實的。

兩種應對方法

• 根據序列的具體情況和干預變量的性質進行識別

確定干預變量的影響是短暫的還是長期的，需要進行具體的識別工作。

利用干預變量產生影響之前或干預影響過後，也就是消除了干預影響或沒有干預影響的淨化數據，計算出自相關函數與偏自相關函數。首先識別ARIMA模型中的p和q，然後估計出 $\theta \left( B \right) \text{，}\phi \left( B \right)$ 中的參數。

假定
$\left\{ \begin{array}{l} \phi \left( B \right) =1-\phi _1\left( B \right)\\ \\ \theta \left( B \right) =1-\theta _1\left( B \right)\\ \end{array} \right.$
假定干預模型的模式爲 ：
$\frac{\omega \left( B \right)}{\delta \left( B \right)}I_{t}^{T}=\frac{\omega _0}{1-\delta B}S_{t}^{T}$ 那麼，組合這兩個模型，便得到單變量序列的干預分析模型：
$y_t=\frac{\omega _0}{1-\delta _1B}S_{t}^{T}+\frac{1-\theta _1B}{1-\phi _1B}a_t$

• 已知干預影響的情形

假定在模型識別之前，對干預的影響已很清楚，以至於通過數據分析，能夠確定干預變
量的影響部分$\frac{\omega \left( B \right)}{\delta \left( B \right)}$， 並估計出這部分的參數，然後計算出殘差序列：
$\varepsilon _t=\text{y}_t-\frac{\hat{\omega}\left( B \right)}{\hat{\delta}\left( B \right)}I_{t}^{T}$這個序列 $\varepsilon _t$ 是一個消除了干預變量影響的序列，可計算出它的自相關與偏自相關函數，從而識別出ARIMA模型的階數。

四、干預模型建模步驟

• 利用干預影響產生前的數據，建立單變量的時間序列模型。然後利用此模型進行外推預測，得到的預測值，作爲不受干預影響的數值。

• 將實際值減去預測值，得到受干預影響的具體結果，利用這些結果求估干預影響的參數。

• 利用排除干預影響後的全部數據，識別與估計出一個單變量的時間序列模型。

• 求出總的干預分析模型。