熵值法與TOPSIS法以及兩者結合

一、熵值法

熵值法的主要目的是對指標體系進行賦權

熵越大說明系統越混亂，攜帶的信息越少，權重越小；熵越小說明系統越有序，攜帶的信息越多，權重越大。

熵值法是一種客觀賦權方法，，借鑑了信息熵思想，它通過計算指標的信息熵，根據指標的相對變化程度對系統整體的影響來決定指標的權重，即根據各個指標標誌值的差異程度來進行賦權，從而得出各個指標相應的權重，相對變化程度大的指標具有較大的權重。

步驟

（1）原始數據的收集與整理

假設有m個待評價樣本，n項評價指標，形成原始指標數據矩陣：
$X=\left( \begin{matrix} x_{11}& ...& x_{1n}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ x_{m1}& \cdots& x_{mn}\\ \end{matrix} \right)$
其中$X_{ij}$ 表示第 i 個樣本第 j 項評價指標的數值。

對於某項指標$X_j$，樣本的離散程度越大，則該指標在綜合評價中所起的作用就越大。如果該指標的標誌值全部相等，則表示該指標在綜合評價中不起作用。

例如：

	語文	數學	英語	音樂
張三	50	44	85	90
李四	33	74	20	78
王五	46	38	88	10
陳六	65	45	98	51
楊七	13	65	12	45

或者

	GDP	就業人數	財政支出	人均可支配收入
北京	xx	xx	xx	xx
上海	xx	xx	xx	xx
廣州	xx	xx	xx	xx
深圳	xx	xx	xx	xx

（2）數據處理

爲消除因量綱不同對評價結果的影響，需要對各指標進行歸一化或者標準化處理。

歸一化處理：

若所用指標的值越大越好（正向指標:）
$x'_{ij}=\frac{x_j-x_{\min}}{x_{\max}-x_{\min}}$
若所用指標的值越小越好（負向指標:）
$x'_{ij}=\frac{x_{\max}-x_j}{x_{\max}-x_{\min}}$

其中$x_j$爲第 j 項指標值，$x_{max}$爲第 j 項指標的最大值，$x_{min}$爲第 j 項指標的最小值。

或者標準化處理：
$x'_{ij}=\frac{x_{ij}-\bar{x}_j}{S_j}$

（3）計算比重

計算第 j 個指標中，第 i 個樣本標誌值的比重：
$p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_i^m{x_{ij}}}\,\,\,\,\,\,\text{，}0\le p_{ij}\le 1$
此，可以建立數據的比重矩陣
$P=\left( \begin{matrix} p_{11}& ...& p_{1n}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ p_{m1}& \cdots& p_{mn}\\ \end{matrix} \right)$

（4） 計算第 j 個指標的熵值

$e_j=-k\sum_i^m{p_{ij}}\ln p_{ij}$

其中，常數
$k>0\text{，}k=\frac{1}{\ln m}$
保證$0\le e_j\le 1$，即$e_j$最大爲1

所以，第 j 個指標的熵值爲
$e_j=-\frac{1}{\ln m}\sum_i^m{p_{ij}}\ln p_{ij}$

（5）定義第 j 個指標的差異程度

熵值法根據各個指標標誌值的差異程度來進行賦權，從而得出各個指標相應的權重

$d_j=1-e_j$

（6）定義權重

$w_j=\frac{d_j}{\sum_{j=1}^n{d_j}}$

（7）進行綜合評價

$F_i=\sum_{j=1}^n{w_jp_{ij}}$
其中$F_i$第 i 個待評價樣本的綜合評價值

	語文	數學	英語	音樂	綜合評價值F
張三	50	44	85	90	$F_1$
李四	33	74	20	78	$F_2$
王五	46	38	88	10	$F_3$
陳六	65	45	98	51	$F_4$
楊七	13	65	12	45	$F_5$

二、TOPSIS法

TOPSIS是通過逼近理想解的程度來評估各個樣本的優劣等級

TOPSIS法的基本原理

在歸一化後的原始數據矩陣中，找到有限方案中的最優方案和最劣方案，然後分別計算評價對象與最優方案和最劣方案之間的距離，並以此作爲依據來評價樣本的優劣等級。

基本步驟

假設有n個待評價樣本，p項評價指標，形成原始指標數據矩陣：
$X=\left( \begin{matrix} x_{11}& ...& x_{1p}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ x_{n1}& \cdots& x_{np}\\ \end{matrix} \right)$

（1）數據預處理

• .使指標具有同趨勢性。評價指標中有正向指標和負向指標之分，一般把負向指標轉化爲正向指標，轉化的方法可採用倒數法（即1/X），多適用於絕對數指標；差值法（即1-X），多適用於相對數指標。轉化後的數據矩陣仍記爲X。

• .數據無量綱化.。將原始數據歸一化，以消除量綱向量數據歸一化的方式：
  $z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_i^{}{x_{ij}^2}}}$

最終得到分析數據矩陣
$Z=\left( \begin{matrix} z_{11}& z_{12}& \cdots& z_{1p}\\ z_{21}& z_{22}& \cdots& z_{2p}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ z_{n1}& z_{n2}& \cdots& z_{np}\\ \end{matrix} \right)$

（2）尋找最優值和最劣值

找出各項指標的最優值和最劣值，建立最優值向量$z^+$和最劣值向量$z^-$
$z^+=\underset{n\ \ j}{\max}\left( z_1^+,z_2^+,\cdots ,z_p^+ \right)$
$z^-=\underset{n\ \ j}{\min}\left( z_1^-,z_2^-,\cdots ,z_p^- \right)$

（3）計算各個評價對象與最優值和最劣值之間的距離

$D_i^+=\sqrt{\sum_j^{}{\left( z_{ij}-z_j^+ \right) ^2}}$
$D_i^-=\sqrt{\sum_j^{}{\left( z_{ij}-z_j^- \right) ^2}}$

（4）計算各個評價指標與最優值的相對接近度

$C_i=\frac{D_i^-}{D_i^++D_i^-}$

（5）排序

根據$C_i$的大小進行排序，$C_i$越大，表明評價對象越接近最優值。

三、熵值法 + TOPSIS法

.
可以結合熵值法 和 TOPSIS法各自的特點，進行評價。

假設有n個待評價樣本，p項評價指標，形成原始指標數據矩陣：
$X=\left( \begin{matrix} x_{11}& ...& x_{1p}\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ x_{n1}& \cdots& x_{np}\\ \end{matrix} \right)$

其中$X_{ij}$ 表示第 i 個樣本第 j 項評價指標的數值。

（1）求比值

$p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_{i=1}^n{x_{ij}}}$

（2）求熵值

$e_j=-\frac{1}{\ln n}\sum_{i=1}^n{p_{ij}\ln p_{ij}}\ \ \text{，}e_j\in \left[ 0,1 \right]$

（3）信息冗餘值

$d_j=1-e_j$

（4）定權

$w_j=\frac{d_j}{\sum_{j=1}^p{d_j}}$

（5）歸一化 （向量標準化）

$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n{x_{ij}^2}}}$

（6）構造加權矩陣

$z_{ij}^*=z_{ij}\cdot w_j$

得到加權矩陣
$Z^*=\left[ \begin{matrix} z_{11}\cdot w_1& z_{12}\cdot w_2& \cdots& z_{1p}\cdot w_p\\ z_{21}\cdot w_1& z_{22}\cdot w_2& \cdots& z_{2p}\cdot w_p\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ z_{n1}\cdot w_1& z_{n2}\cdot w_2& \cdots& z_{np}\cdot w_p\\ \end{matrix} \right]$

（7）尋找最優、最劣方案

$\left\{ \begin{array}{l} z_{ij}^{*+}=\underset{n,p}{\max}\left( z_1^{*+},z_2^{*+},\cdots ,z_p^{*+} \right)\\ \\ z_{ij}^{*-}=\underset{n,p}{\min}\left( z_1^{*-},z_2^{*-},\cdots ,z_p^{*-} \right)\\ \end{array} \right.$

（8）最優、最劣距離

$D_i^+=\sqrt{\sum_j^{}{\left( z_{ij}^*-z_j^{*+} \right) ^2}}$
$D_i^-=\sqrt{\sum_j^{}{\left( z_{ij}^*-z_j^{*-} \right) ^2}}$

（9）構造相對接近度

$C_i=\frac{D_i^-}{D_i^++D_i^-}$

（10）排序

根據$C_i$的大小進行排序，$C_i$越大，表明評價對象越接近最優值。