透過皮亞諾公理看自然數

透過皮亞諾公理看自然數

皮亞諾公理

1. 0是自然數

2. 每一個確定的自然數$a$都有後繼數，記作$a'$，後繼數$a'$也是自然數。（數$a$的後繼數就是緊挨着$a$的一個整數，即$a' = a + 1$）

3. 0不是任何自然數的後繼數

4. 不同的自然數有不同的後繼數，如果自然數$b$和$c$的後繼數都是自然數$a$，那麼$b = c$；

5. 數學歸納法：設法則$P(n)$是關於自然數$n$的法則，若$P(0)$成立，且假設$P(N)$成立時可推得$P(N')$成立(或稱$P(N+1)$成立)，則$P$對全體自然數都成立。

   如，已經直到$P(N)$對$P(0)$成立，且當$P(N)$成立時$P(N')$成立，要證明$P(3)$成立，可以根據如下步驟遞歸：

   1. $P(3)$成立即證明$P(2)$成立，因爲當$P(N)$成立時，$P(N')$成立
   2. $P(2)$成立即$P(1)$成立
   3. $P(1)$成立即$P(0)$成立，而我們已經事先證明了$P(0)$成立，因此可證$P(3)$成立。

   下面的論證多使用數學歸納法。

加法的定義

定義

我們定義，加法是滿足以下兩種規則的運算：

• $\forall m∈N$，$0 + m = m$

• $\forall m,n∈N$，$n' + m = (n + m)'$

比如說：$3 + 2 = (3 + 1)' = (3 + 1)' = ((3 + 0)'' = 3'' = 5$。

注：以後在“(自然數)皮亞諾公理”的討論中，$m$和$n$特指自然數

推論

a. $1 + 1 = 2$

$1 + 1 = 0' + 1 = (0 + 1)' = 1' = 2$

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b. 加法結合律

即$∀a,b,c∈N$滿足：
$(a+b)+c=a+(b+c)$

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證明過程使用數學歸納法

第一步

若$a = 0$，則：
$(a + b) + c = (0 + b) + c = b + c = 0 + (b + c)$
$0 + b = b$根據加法的定義可以得到，$0 + (b + c)$根據加法的定義得到。

第二步

假設有自然數$k$(注：以後在“(自然數)皮亞諾公理”的討論中，凡是使用數學歸納法證明中的$k$均指自然數)，使$a = k$，滿足$(a+b)+c=a+(b+c)$：

則，當$a = k'$時：
$(a+b)+c = (k' + b) + c = (k + b)' + c = ((k + b) + c)' = (k + (b + c))' = k' + (b + c) = a + (b + c)$
當然，從$(k + (b + c))'$我們可以得到$k' + (b + c)$也可以得到$k + (b + c)'$，但$k' + (b + c)$更有利於證明過程。

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c. $m’ = 1 + m$

前面，我們是規定了$m' = m + 1$，現在來證明$m' = 1 + m$。

第一步

若$m = 0$，則：
$1 + m = 1 + 0 = 0' + 0 = (0 + 0)' = 0' = m'$
第二步

假設$m = k$時，$m' = 1 + m$成立，則當$m = k'$時：
$1 + m = 1 + k' = (1 + k)' = (k')' = m'$

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d. $m = m + 0$

第一步

若$m = 0$，則：
$m + 0 = 0 + 0 = 0 + m = m$
第二步

假設$m = k$時，$m' = m + 0$成立，則當$m = k'$時：
$m + 0 = k' + 0 = (k + 0)' = k' = m$

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e.加法交換律

結合上面c和d的證明，可以得到加法交換律。

即$∀a,b∈N$滿足：
$a + b = b + a$

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第一步

若$a = 0$，則：
$a + b = 0 + b = b = b + 0 = b + a$
其中，$b = b + 0$就是使用了上面d的證明

第二步

假設$a = k$時，$a + b = b + a$成立，則當$a = k'$時：
$a + b = k' + b = (k + b)' = (b + k)' = b + k' = b + a$

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f.加法消去律

即$∀a,b,c∈N$滿足：
$a + c = b + c \Leftrightarrow a = b$

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第一步

若$c = 0$，則：
$a + c = b + c \Leftrightarrow a + 0 = b + 0 \Leftrightarrow a = b$
第二步

若$c = k$時，$a + c = b + c \Leftrightarrow a = b$，則當$c = k'$時：
$a + c = b + c \Leftrightarrow a + k' = b + k' \Leftrightarrow (a + k)' = (b + k)' \Leftrightarrow a + k = b + k \Leftrightarrow a = b$
其中，$(a + k)' = (b + k)' \Leftrightarrow a + k = b + k$運用了公理四，$a + k = b + k \Leftrightarrow a = b$由數學歸納可得。

乘法的定義

定義

我們定義，乘法是滿足以下兩種規則的運算：

• $\forall m∈N$，$m \times 0 = 0$

• $\forall m,n∈N$，$m \times n' = m \times n + m$。

比如說：$3 \times 2 = 2' \times 2 = 2 \times 2 + 2 = (1 \times 2 + 2) + 2 = ((0 \times 2 + 2) + 2) + 2 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6$，

推論

a. 乘法分配律

即$∀a,b,c∈N$滿足：
$a\times (b + c) = a \times b+ a \times c$

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第一步

若$b = 0$，則：
$a \times (b + c) = a \times (0 + c) = a \times c = 0 + a \times c = a \times 0 + a \times c = a \times b + a \times c$
第二步

假設$b = k$時，$a\times (b + c)=a \times b+ a \times c$成立，則當$b = k'$時：
$a \times (b + c) = a \times (k' + c) = a \times (k + c)' = a \times (k + c) + a = a \times k + a \times c + a$
在根據加法結合律和交換律可以得到：
$a \times k + a \times c + a = a \times k + (a \times c + a) = a \times k + (a + a \times c) = (a \times b + a) + a \times c = a \times k' + a \times c = a \times b + a \times c$

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b. $0 \times m = 0$

第一步

若$m = 0$，則：
$0 \times m = 0 \times 0 = m \times 0 = 0$
第二步

假設$m = k$時，$0 \times m = 0$成立，則當$m = k'$時：
$0 \times k' = 0 \times k + 0 = 0 + 0 = 0$

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c. $n' \times m = n \times m + m$

第一步

若$m = 0$，則：
$n' \times m = 0$
因爲：
$n \times 0 = 0 = 0 + 0 = n \times 0 + 0$
所以：
$n' \times m = 0 = n \times 0 + 0 = n \times m + m$
第二步

假設$m = k$時，$n' \times m = n \times m + m$成立，則當$m = k'$時：
$n' \times m = n' \times k' = n' \times k + n' = (n \times k + k) + n' = (n \times k + k) + (n + 1) = n \times k + k + n + 1$
根據加法交換律，可以得到：
$n \times k + k + n + 1 = n \times k + n + k + 1 = (n \times k + n) + (k + 1) = n \times k' + k' = n \times m + m$

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d. 乘法交換律

即$∀a,b∈N$滿足：
$a \times b = b \times a$

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第一步

若$a = 0$，則：
$a \times b = 0 \times b = 0 = b \times 0 = b \times a$
第二步

假設$a = k$時，$a \times b = b \times a$成立，則當$a = k'$時：
$a \times b = k' \times b = k \times b + b = b \times k + k = b \times k' = b \times a$

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e. 乘法結合律

即$∀a,b,c∈N$滿足：
$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$

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第一步

若$a = 0$，令$h = b \times c$，則：
$(a \times b) \times c = (0 \times b)\times c = 0 \times c = 0\\ a \times (b \times c) = 0 \times h = 0$
所以：
$(a \times b)\times c = a \times (b \times c) = 0$
第二步

假設$a = k$時，$(a \times b)\times c = a \times (b \times c)$成立，則當$a = k'$時：
$(a \times b) \times c = (k' \times b) \times c = (k \times b + b) \times c = (k \times b)\times c + (b \times c) = k \times (b \times c) + (b \times c)\\ a \times (b \times c) = k' \times (b \times c) = k \times (b \times c) + (b \times c)$
所以：
$(a \times b )\times c = a \times (b \times c)$

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f. $n \times m = 0$，$m$和$n$中有且至少有一個爲$0$

若$m$和$n$都不爲零，則必然存在自然數$a$和$b$爲$m$和$n$的後繼數，即：
$m = a' = a + 1\\ n = b' = b + 1$
所以：
$n \times m = (a')\times b' = a \times b' + b' = a \times b + a + b' = a \times b + a + n$
很顯然，當$m$和$n$不爲0的時候$a \times b + a + n$也不爲0。因此$m \times n = 0$，$m$和$n$中至少有一個爲$0$。

若$m$或$n$有一個是0或都是0，則上述推論不成立，因爲0不是任何自然數的後繼數。然後，根據乘法的性質可推出$m \times n = 0$。

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g. 乘法消去律

注：推導乘法消去律涉及自然數的序和正自然數的一些推論和定義

即$∀a,b∈N$且$c∈N^+$滿足：
$a\times c = b\times c \Leftrightarrow a = b$

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推動過程使用反證法

已知$a \times c = b \times c$，若：

$a \gt b$，則：
$a = b + m \Leftrightarrow a \times c = b \times c = (b + m) \times c \Leftrightarrow b \times c = b \times c + m \times c$
根據上面可得：$m \times c = 0$，而$m$和$c$都不爲0，因此矛盾。

同理可證$a \lt b$也是矛盾的，根據自然數的序的三歧性，可得：$a = b$

正自然數

定義：不是0的自然數叫正自然數

推論

a.自然數和正自然數相加結果爲正自然數

即$∀a∈N$且 $b,c∈N^+$滿足：
$a + b = c$

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第一步

若$a = 0$，則：
$a + b = 0 + b = b = c$
$b$和$c$都是正自然數，上述推導成立。

第二步

假設$a = k$時，$a + b = c$成立，當$a = k'$時：
$a + b = k' + b = (k + b)' = c$
因爲$k + b$是正自然數(即不是0)，則$(k + b)'$也是正自然數(0不是任何自然數的後繼數)。

自然數的序

$m \ge n$(或$n \le m$)，當且僅當存在自然數$a$使得$m = n + a$。稱$m \gt n$(或$n \lt m$)，當且僅當$m \ge n$(或$n \le m$)，且$m \ne n$。

推論

注：下推論默認$∀a,b,c∈N$

a.$a \ge a \Leftrightarrow a = 0 + a$

$a \ge a \Leftrightarrow a = a + m \Leftrightarrow a = a + 0$

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b.$a \ge b, b \ge c \Leftrightarrow a \ge c$

由$a \ge b, b \ge c$，可得：
$a = b + m_0\\ b = c + m_1$
其中$m_1$和$m_0$都是自然數

因此：
$a = c + m_1 + m_0 \Leftrightarrow a = c + (m_0 + m_1)$
令自然數$m = m_0 + m_1$，則：
$a = c + m \Leftrightarrow a \ge c$

---

c.$a \ge b, b \ge a \Leftrightarrow a = b$

由$a \ge b, b \ge a$，可得：
$a = b + m_0\\ b = a + m_1$
其中$m_1$和$m_0$都是自然數

因此：
$a = (a + m_1) + m_0 = a + (m_1 + m_0) = a + 0$
根據加法消去律和交換律可得：
$m_1 + m_0 = 0$
因爲自然數和正自然數相加結果爲正自然數，所以$m_1$和$m_0$均不是正自然數，即：$m_1 = m_0 = 0$

根據$a = b + m_0$，可得：
$a = b + 0 \Leftrightarrow a = b$

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d.$a \ge b \Leftrightarrow a' \ge b'$

第一步

若$b = 0$，則：
$a \ge b \Leftrightarrow a \ge 0 \Leftrightarrow a = 0 + m \Leftrightarrow a' = (0 + m)' \Leftrightarrow a' = 0' + m \Leftrightarrow a' \ge 0' = a \ge b'$
其中，$a = 0 + m \Leftrightarrow a' = (0 + m)'$根據公理三推出。

第二步

若$b = k$時，$a \ge b \Leftrightarrow a' \ge b'$成立，則$b = k'$時：
$a \ge b \Leftrightarrow a \ge k' \Leftrightarrow a = k' + m \Leftrightarrow a = (k + m)' \Leftrightarrow a' = (k + m)'' \Leftrightarrow a' = k'' + m \Leftrightarrow a' \ge k'' \Leftrightarrow a' \ge b'$

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e.$a \ge b \Leftrightarrow a + c \ge b + c$

第一步

若$c = 0$時，則有：
$a + c \ge b + c \Leftrightarrow a + 0 \ge b + 0 \Leftrightarrow a \ge b$
第二步

若$c = k$時，$a \ge b \Leftrightarrow a + c \ge b + c$成立，則$c = k'$時：
$a + c \ge b + c \Leftrightarrow a + k' \ge b + k' \Leftrightarrow (a + k)' \ge (b + k)' \Leftrightarrow a + k \ge b + k \Leftrightarrow a \ge b$

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f.當$∀a,b∈N$且$c∈N^+$, 有$a \gt b \Leftrightarrow a = b + c$

根據$a \gt b$，可得：
$a = b + c\\ a \ne b$
若$c = 0$，則：
$a = b + c \Leftrightarrow a = b + 0 \Leftrightarrow a = b$
可見，若$c = 0$會出現衝突（$a = b$且$a \ne b$的衝突），因此$c \ne 0$。

因爲$c$是自然數，且$c \ne 0$，因此$c$是正自然數，即$c ∈N^+$

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g.$a \ge b \Leftrightarrow a' \gt b$

根據$a \ge b$，則有：
$a \ge b \Leftrightarrow a = b + m \Leftrightarrow a' = (b + m)' \Leftrightarrow a' = b + m' \Leftrightarrow a' \ge b$
其中，$m' \ne 0$，因爲$0$不是任何數的後繼數，則：$a \ne b$，因此：
$a' = b + m' \Leftrightarrow a \ge b \Leftrightarrow a \gt b$

h.當$∀a,b∈N$且$c∈N^+$, 有$a \ge b \Leftrightarrow a \times c \ge b \times c$

根據$a \gt b$，可得：
$a = b + c \Leftrightarrow a \times c = b \times c + m \times c \Leftrightarrow a \times c \ge b \times c$

i.自然數的序的三歧性

即，任意自然數$a$和$b$，對下面命題：

• $a = b$
• $a \gt b$
• $a \lt b$

都有且只有一個是成立的。

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證明三者只有一個成立
$a = b \Leftrightarrow a + 0 = b \Leftrightarrow a = b + 0\\ a \gt b \Leftrightarrow a = b + m\\ a \lt b \Leftrightarrow b = a + n$
其中，$n$和$m$均爲正自然數。

若$a = b$和$a \gt b$同時成立，則：
$a = b + 0\\ a = b + m$
即：
$b + 0 = b + m$
根據加法消去律可得$m = 0$，因爲$m$是正自然數，因此$a = b$且$a \ge b$矛盾。

若$a = b$和$a \lt b$同時成立，則：
$a + 0 = b\\ b = a + n$
即：
$a + 0 = a + n$
根據加法消去律可得$n = 0$，結果矛盾。

若$a \gt b$和$a \lt b$同時成立，則：
$a = b + m\\ b = a + n$
即：
$a = b + m = a + n + m = a + (n + m)$
因爲：
$a = a + 0$
所以：
$n + m = 0$
因爲自然數和正自然數相加結果爲正自然數，所以$m = n = 0$，矛盾。

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證明三者有一個成立

第一步

若$b = 0$，則$a$和$b$的有序關係是：
$a = 0 + a \Leftrightarrow a = b + a \Leftrightarrow a \ge b$
其中，$a \ge b$即：
$a \gt b$
或
$a = b$
第二步

假設，$a$和$b$，在$b=k$時，存在有序關係$a = b$或$a \gt b$或$a \lt b$，當$b = k'$時則：

若$b = k$時，$a = b$成立，則當$b = k'$時：
$a = k \Leftrightarrow a + 1 = k' \Leftrightarrow a + 1 = b \Leftrightarrow a \lt b$
若$b = k$時，$a \gt b$成立，則當$b = k'$時：
$a \gt k \Leftrightarrow a = k + m \Leftrightarrow a' = (k + m)' \Leftrightarrow a' = k' + m \Leftrightarrow a' \gt b \Leftrightarrow a \ge b$
其中，$a \ge b$即：
$a \gt b$
或
$a = b$
若$b = k$時，$a \lt b$成立，則當$b = k'$時：
$a \lt k \Leftrightarrow a \lt k' \Leftrightarrow a \lt b$

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第二數學歸納法

設法則$P(m)$是關於自然數$m$的法則，其滿足一下兩個命題：

1. 對於有自然數$m_0$滿足$m_0 \le m$，有$P(m_0)$成立
2. 對於自然數$m_1$滿足$m_0 \le m_1 \le m$，假設$P(m_1)$成立可以，推導$P(m + 1)$成立

則法則$P(m)$對一切大於或等於$m_0$的自然數(即$m \ge m_0$)都成立。

證明

根據$m_0 \le m$，可以得到：
$m = m_0 + k \Leftrightarrow m_0 \le m_1 \le m_0 + k$
設法則$S$爲：
$S(k) = P(m_1)$
首先，我們知道$P(m_0)$成立，也就是$S(0)$成立。當$m = m_0$時，$k=0$。

根據假設$P(m_1)$成立可以，推導$P(m + 1)$成立，即根據$S(k)$成立推出$S(k + 1)$成立，根據數學歸納法可得到$S(k)$對一切自然數$k$成立。

因此，$P(m)$對一切大於$m_0$的自然數都成立。

注：公理五的數學歸納法又稱爲第一數學歸納法。廣義的數學歸納法指：第一和第二數學歸納法；狹義的數學歸納法指：第一數學歸納法。我們常說的是狹義的數學歸納法。

倒向數學歸納法

設法則$P(m)$是關於自然數$m$的法則，其滿足一下兩個命題：

1. 對於自然數$m_0$，有$P(m_0)$成立
2. 假設$P(m')$成立可以推導得到$P(m)$成立

則法則$P(m)$對一切小於或等於$m_0$的自然數(即$m \le m_0$)都成立。

其本質其實就是倒過來的數學歸納法，對一切$P(m)$的證明，最終都可以歸納成$P(n)$。

證明：當$∀n,a,b∈N$且$q∈N^+$，總有$n \le b \lt q$且$n = a\times q + b$

第一步

若$n = 0$，顯然當$a = b = 0$時，$n = a\times q + b$成立。

第二步

若$n = k$時，$n = aq + b$成立，此時的$a$記作$a_1$，此時的$b$記作$b_1$，當$n = k' = k + 1$時，則：

1. 若$b + 1 \lt q$，則：
   $n = k' = k + 1 = (a_1\times q + b_1) + 1 = a_1\times q + (b_1 + 1) = a_1\times q + {b_1}'$
   即：
   $a = a_1\\ b = {b_1}'$

2. 若$b + 1 = q$，則：
   $n = k' = k + 1 = (a_1\times q + b_1) + 1 = a_1\times q + (b_1 + 1) = a_1\times q + q = (a_1 + 1)q = {a_1}'\times q$
   即：
   $a = {a_1}'\\ b = 0$

3. 若$b + 1 \gt q$，這種情況不存在。

對於上述研究，可以表述爲：

對於任意自然數$a$，$b$，若滿足：$0 \lt b \lt a$，總有自然數$N$，使得：$N \times b = a$