Zju1654 Place the Robots(二分圖最大匹配)

首先總結一些二分圖的概念和性質：

最大匹配： 圖中包含邊數最多的匹配稱爲圖的最大匹配。 

完美匹配： 如果所有點都在匹配邊上，稱這個最大匹配是完美匹配。

最小覆蓋： 最小覆蓋要求用最少的點（Ｘ集合或Ｙ集合的都行）讓每條邊都至少和其中一個點關聯。可以證明：最少的點（即覆蓋數）＝最大匹配數

最小路徑覆蓋：

用盡量少的不相交簡單路徑覆蓋有向無環圖Ｇ的所有結點。解決此類問題可以建立一個二分圖模型。把所有頂點i拆成兩個：Ｘ結點集中的i和Y結點集中的i',如果有邊i->j，則在二分圖中引入邊i->j'，設二分圖最大匹配爲m,則結果就是n-m。

最大獨立集問題：

在Ｎ個點的圖G中選出m個點，使這m個點兩兩之間沒有邊．求m最大值．

如果圖Ｇ滿足二分圖條件，則可以用二分圖匹配來做．最大獨立集點數 = N - 最大匹配數

在這道題中，最難的是如何建圖。如果沒有接觸過這類想法的話，應該很難做的出來。

預處理行和列，對每一行和每一列的所有連通塊進行標記（以‘＃’作爲分割點），同一連通塊標記相同數字。

然後視行和列爲二分圖的頂點集，如果第i行第j列爲‘o’，則在頂點i和j所在的連通塊建立一條邊，然後就可以轉換爲求最小頂點覆蓋集問題。

根據上面二分圖的性質可得，最大匹配＝最小覆蓋（證明自行百度）。這樣直接匈牙利算法跑一遍即可。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=505;
int T,n,m;
char map[maxn][maxn];
int r[maxn][maxn],c[maxn][maxn],R,C;
int line[maxn][maxn];
int girl[maxn],used[maxn];
 
bool dfs(int x){
    for(int i=1;i<=C;i++){
        if(line[x][i]&&!used[i]){
            used[i]=1;
            if(!girl[i]||dfs(girl[i])){
                girl[i]=x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
 
int hungary(){
    memset(girl,0,sizeof(girl));
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=R;i++){
        memset(used,0,sizeof(used));
        if(dfs(i))
            ans++;
    }
    return ans;
}
 
int main(){
    scanf("%d",&T);
    int Cas=1;
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=0;i<n;i++) scanf("%s",map[i]);
        memset(line,0,sizeof(line));
        memset(r,0,sizeof(r));
        memset(c,0,sizeof(c));
        R=C=0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            bool flag=false;
            for(int j=0;j<m;j++){
                if(map[i][j]=='o'){
                    if(!flag){
                        R++;
                        flag=true;
                    }
                    r[i][j]=R;
                }
                else if(map[i][j]=='#') flag=false;
            }
        }
        for(int j=0;j<m;j++){
            bool flag=false;
            for(int i=0;i<n;i++){
                if(map[i][j]=='o'){
                    if(!flag){
                        C++;
                        flag=true;
                    }
                    c[i][j]=C;
                }
                else if(map[i][j]=='#') flag=false;
            }
        }
        /*for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<m;j++){
                cout<<r[i][j]<<" ";
            }
            cout<<endl;
        }
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<m;j++){
                cout<<c[i][j]<<" ";
            }
            cout<<endl;
        }*/
        for(int i=0;i<n;i++){
            for(int j=0;j<m;j++){
                if(map[i][j]=='o'){
                    line[r[i][j]][c[i][j]]=1;
                }
            }
        }
        int res=hungary();
        printf("Case :%d\n",Cas++);
        printf("%d\n",res);
    }
    return 0;
}